Le problème a pour objet l'étude de la propagation des ondes hertziennes dans la haute atmosphère. L'action du champ de pesanteur sera partout négligé.

Données : e = 1,6 10^-19 C ; masse de l'électron m_e = 9 10^-31 kg ; masse du proton mp = 1,67 10^-27 kg ;

c₀= 3 10⁸ m/s ; m₀ = 4p 10^-7 H/m ; rayon de la terre R= 6370 km ; champ magnétique terrestre au sol : B₀ = 4,7 10^-5 T

Etude d'un plasma : les vecteurs sont écrits en gras et en bleu; les lettres soulignés correspondent à des nombres complexes.

On considère un plasma, milieu ionisé où se trouve des électrons libres, des ions positifs et des molécules neutres ; du point de vue macroscopique, ce milieu est toujours localement neutre. Ce plasma est un milieu suffisamment raréfié pour que, en première approximation, les interactions entre les particules n'interviennent pas.

1. Dans un milieu dispersif, l'équation de propagation est , dans le cas d'une onde monochromatique à condition de considérer que la permitivité e est une fonction de pulsation w.
   - Rappeler en quelques mots ce que représente le phénomène de dispersion : citer un exemple en optique.
   - Soit une onde plane sinusoïdale se propageant suivant u_x, dont le champ électrique s'écrit : E = Re(E) avec
   E = E₀ exp (i(wt-kx). Comment s'appelle k = ku_x ?
   - Montrer que la relation entre k et w appelée relation de dispersion est : k²c₀² = e_r w ²
2. L'onde plane étudiée ci dessus se propage dans le plasma. Dans le vide, une particule de charge q, de masse m, animée de la vitesse non relativiste v est soumise à l'action de l'onde plane hertzienne.
   - Donner l'expression de la force de Lorentz que subit cette particule dans les champs électrique E et magnétique B de l'onde.
   - Rappeler la relation liant les normes de ces deux champs dans le cas de cette onde plane progressive.
   - Montrer que l'action du champ magnétique est négligeable devant celle du champ électrique.
3. On suppose que les particules électrisées du plasma sont des protons et des électrons soit par unité de volume N électrons et N protons avec : N= 6,1 10¹¹ particule /m³.
   - Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement d'une particule électrisée M de charge q, de masse m dans le champ électrique de l'onde et la résoudre en supposant la particule initialement immobile en O; on posera s = OM.
   - Déterminer l'amplitude s₀ des oscillations forcées en fonction de l'amplitude E₀ du champ électrique de l'onde.
   - Calculer le rapport des amplitudes du mouvement d'un électron et de celui d'un proton. Conclure.
4. Sous l'action de cette onde précédente, les particules effectuent des oscillations forcées, les vecteurs déplacements sont s_e pour un électron et s_p pour un proton. On définit alors un vecteur polarisation de ce milieu ionisé P= Ne(s_p-s_e). Les protons peuvent être considérés comme fixes : on ne s'intéresse donc qu'au mouvement des électrons.
   Le vecteur polarisation peut s'exprimer sous la forme générale en fonction du champ électrique par la relation : P=e₀(e_r-1)E..
   - A partir des résultats précédents, montrer que la permitivité relative e_r du plasma s'écrit : e_r = 1 - Ne² / (me₀w²)
5. Reprendre l'équation de dispersion . La propagation n'est possible que si k est réel.
   - Donner l'expression de la pulsation limite w₀ (pour laquelle k=0), appelé pulsation propre du plasma, et celle de la longueur d'onde dans le vide l₀ correspondante.
   - Calculer les valeur de w₀ et l₀.
   - représenter k = k(w)
6. Que se passe t-il si on envoie une onde de pulsation inférieure à w₀ dans le plasma ?
   - Deux stations radio émettent sur des longueurs d'onde de 1 376 m et 2,85 m. Laquelle peut espérer une réflexion ionosphérique pour avoir une plus vaste audience ? (On suppose qu'il existe une couche ionisée analogue au plasma étudié).