Aurélie 06 /02
étude d'un oscillateur mécanique

suite --> charge d'un condensateur ( concours sage femme) (sans calculatrice)

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On prendra p² = 10 et racine carrée (0,1) = 0,32.

On considère un pendule élastique horizontal constitué d'un solide S de centre d'inertie G et de masse m pouvant glisser sans frottements sur un support horizontal et d'un ressort à spires non jointives de constante de raideur k et de masse négligeable.

Lorsque le solide est en équilibre son centre d'inertie est en O. Ecarté de sa position d'équilibre, il oscille autour de O suivant un axe horizontal Ox. La position du solide est repérée par l'abscisse x de G.

L'étude du mouvement se fait au moyen d'un ordinateur muni d'un capteur et d'une interface appropriée. L'enregistrement x=f(t) est donné ci-dessous.

 

  1. Etude de l'enregistrement : on suppose que le graphe ci-dessus est celui d'une sinusoïde.
    - A l'instant t=0 le ressort est-il comprimé, étiré ou au repos ?
    - Déterminer graphiquement l'amplitude Xm du mouvement.
    - Quels sont les points du graphe qui correspondent à une vitesse nulle ? à une vitesse maximale ?
    - Déterminer graphiquement T0.
  2. Etude théorique :
    - En utilisant une analyse dimensionnelle, indiquez parmi les formules suivantes quelle est celle qui correspond à la période des oscillations :
    -S achant que m =200 g déterminer la constante de raideur du ressort.
  3. Etude énergétique du système : (m=200g)
    - Déterminer l'énergie mécanique Em du système au point C.
    - En déduire la vitesse v du mobile au point D.
  4. Modifications des conditions expérimentales : comment le graphe serait-il modifié si :
    - La masse était m' =50 g.
    - Les frottements n'étaient plus négligeables ?

 

corrigé
à l'instant t= 0 , le graphe indique x = -0,04 m, valeur négative, donc le ressort est comprimé.

amplitude (lecture graphe) : 4 cm ou 0,04 m.

si la valeur absolue de l'abscisse est égale à l'amplitude, alors la vitesse est nulle : points A, C, E, G, I.

si l'abscisse est nulle alors la vitesse est maximale : points B, D, F, H.

période (lecture graphe) T0 = 0,4 s.

la raideur k est en newton divisée par des mètres : [N] [m]-1.

une force (newton) est une masse (kg) fois une accélération (m/s²)

d'où k : [kg] [m] [s]-2 [m]-1 soit [kg] [s]-2

(masse / raideur) : [kg] [kg] -1[s]2 soit [s]2

racine carrée ( m/k) : [s]

2 p est sans dimension: donc la relation 3 est correcte.

T0² = 4p² m/k d'où k = 4p² m/T0²

k = 4*10*0,2 / 0,4² = 50 N/m.

au point C , l'énergie de l'oscillateur est sous forme potentielle élastique : Em= ½ kXm²

Em=0,5 *50*0,04² = 0,04 J.

au point D, l'énergie de l'oscillateur est sous forme cinétique Em= ½ mVm²

en absence de frottement l'énergie mécanique se conserve.

½ mVm² = 0,04 soit Vm = racine carrée (0,08/0,2) =racine carrée (0,4) = 0,64 m/s.

si la masse est divisée par quatre, alors la période T0 est divisée par 2.

en présence de frottement, l'amplitude diminue régulièrement ( amortissement)

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