Aurélie sept 2001
Moteur à combustion interne

Capes 96

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Préliminaires:

  1. On considère un système fermé. Qu'est ce qu'un système fermé?
    - Enoncer le premier principe de la thermodynamique pourun système fermé subissant une transformation finie, c'est à dire non élémentaire, l'amenant d'un état 1 à un état 2.
    - Que traduit le premier principe de la thermodynamique?
  2. On considère un système fermé constitué par n moles d'un gaz considéré comme parfait, pour lequel la capacité thermique molaire à volume constant Cvm est constante.
    - Rappeler l'expression de l'équation d'état du système.
    - Donner l'expression de la différentielle de l'énergie interne du système en fonction de la température.
  3. Le système subit une transformation isentropique. Qu'est ce qu'une transformation isentropique ?
    - La quantité g=Cpm / Cvm étant supposée constante, montrer que la grandeur TVg-1 reste invariante au cours de la transformation. On rappelle quae pour un gaz parfait Cvm=R/ (g-1).

Etude du moteur :

On considère un moteur à combustion interne à allumage par bougies. On se limite à l'étude de l'un des cylindres du moteur. Le cycle thermodynamique décrit par le fluide est le cycle de Beau de Rochas. On en donne la représentation dans un diagramme où l'on porte en ordonnée la pression P du fluide et en abscisse le volume V du gaz contenu dans la chambre du cylindre. Les différente étapes du cycle sont les suivantes:

- MA: admission du mélange gazeux air-essence à la pression constante P0. En A il y a fermeture de la soupape d'admission et le volume V est égal à Vmax.

- AB : compression supposée isentropique du mélange. Dans l'état B, le volume est égal à Vmin.

- BC : échauffement isochore du gaz.

CD : détente isentropique du gaz. Dans l'état D le volume est Vmax.

DA : refroidissement isochore du gaz.

AM : refoulement du gaz vers l'extèrieur, à la pression P0.

On convient de nommer "taux de compression" le rapport t =Vmax / Vmin.

Le système envisagé est le gaz qui décrit le cycle ABCD. La quantité de gaz n (mol) considérée est celle qui a été admise dans l'état A. Le transfert thermique de l'étape BC est dû à la combustion interne du mélange gazeux admis. Les réactifs et les produits de la réaction sont gazeux. Dans une approche simplifiée on admettra que la quantité de gaz n'est pas modifiée par la combustion interne. Le gaz est assimilé à un gaz parfait pour lequel les capacités thermiques molaires Cpm et Cvm sont constantes.

  1. Soit Q1 le transfert thermique (ou chaleur échangée) mis en jeu dans l'étape BC. Exprimer Q1 en fonction de n, Cvm, TB et TC. Préciser le signe de cette grandeur. Dans quel sens s'effectue le transfert thermique?
  2. Soit Q2 le transfert thermique mis en jeu dans l'étape DA. Exprimer Q2 en fonction de n, Cvm, TD et TA.
  3. On note W le travail total échangé au cours du cycle ABCD. Exprimer W en fonction de Q1 et Q2.
  4. Définir le rendement thermodynamique h du moteur. Exprimer h en fonction de Q1 et Q2.
  5. Exprimer h en fonction de TA, TB, TC et TD, puis en fonction de t et g. Calculer h pour les valeurs suivantes t=10 et g=1,33.
    On envisage maintenant un moteur dont la cylindrée est égale à 2 litres. On raisonnera sur un cylindre, possédant la cylindrée Cy du moteur définie selon : Cy = Vmax - V min. Le taux de compression t =10 ; le mélange air essence est admis à la température TA= 320K sous la pression PA= 100kPa.. La valeur de g=1,33. Le mélange gazeux contient 1 mole de carburant pour 60 moles de mélange.
  6. Calculer les valeurs de Vmax et Vmin.
  7. Calculer la quantité de gaz n'(mol) de carburant consommé par cycle. R=8,134 J K-1 mol-1.
  8. En admettant que le pouvoir calorifique du carburant utilisé est égal à 4200 kJ par mole de carburant, calculer les valeurs de la température et de la pression dans l'état C du cycle.
  9. Calculer la valeur du transfert thermique vers l'extérieur au cours d'un cycle du moteur.
    - Calculer la valeur de la puissance du moteur lorsque la vitesse de rotation du vilbrequin est égale à 4000 tours par minute.
  10. Dans la pratique, le rendement est beaucoup plus faible. Donner au moins deux raisons rendant compte de cette différence. 
corrigé
Un système fermé n'échange pas de matière avec l'extérieur.

Le premier principe traduit la conservation de l'énergie totale d'un système.

Soit un système fermé évoluant entre deux état 1 et 2 en recevant de l'extérieur une quantité de chaleur Q et un travail W (grandeurs algébriques), le principe de létat initial permet d'écrire :

[W+Q] 1-->2 = E2-E1.

où E est l'énergie totale, somme de l'énergie interne U et de l'énergie mécanique( potentielle et cinétique)

E=U+Ec+Ep.

si l'énergie mécanique ne varie pas : DU=W+Q

L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit : PV=nRT

P ression en Pa; V volume en m3; n (mol) ; T température en kelvin.

énergie interne : DU=W+Q

expression différentielle :dU=dW+dQ

dU= - P dV + nCvm dT + ldv avec l=P pour ungaz parfait

dU=nCvm dT.

Au cours d'une transformation isentropique, l'entropie reste constante. dS=0 si S=Cte.

S étant constante implique VTg-1=Cte

étude du moteur :

étape BC: transformation isochore

dQ1 = nCvmdT + ldV = nCvm dT

Q1 = nCvm(TC-TD).

n reste constant alors PB / TB = PC / TC.

PC>PB entraîne TC>TB donc Q1 positif, chaleur reçue par le gaz.

étape DA: transformation isochore

Q2 = nCvm(TA-TD). avec TA<TD donc Q2<0.

Au cours d'un cycle l'énergie interne ne varie pas

DU=Q1+Q2+W d'où W= -(Q1+Q2).

Le rendement est le rapport entre l'énergie mécanique fournie et l'énergie thermique reçue.

h = -W / Q1 = (Q1+Q2) / Q1.

remplacer Q1 et Q2 par les expressions trouvées ci dessus.

h = 1+ (TA-TD) / TC-TB).

Cy = Vmax-Vmin = Vmin(t-1)

d'où : Vmin =Cy / (t-1) = 0,22 L et Vmax = t Cy/ (t-1)= 2,22 L.

On détermine la quantité de matière de gaz (mole) entrant dans le cylindre :

n = PAVA / (RTA)= 105 * 2,2 10-3 / (8,134*320) = 8,34 10-2 mol

or le mélange contient 1 mol de carburant pour 60 mol de mélange, d'où n'= n /60 = 1,39 mmol.

état C:

Quantité de chaleur Q1 = n'*4,2 106 = 5838 J

Q1 = nR (TC-TB) / (g-1)

d'où : TC= TB+Q1 (g-1) / (nR)

TC= TA tg-1 + Q1 (g-1) / (nR)

application numérique : TC=3 463 K.

PC = nRTC / Vmin =10,7 106 Pa.

calcul de Q2 :

Q2=nCvm(TA-TD)

Q2=nCvm(TA-TC /tg-1 )

Q2= nR / (g-1)[TA-TC /tg-1 ]

application numérique : Q2 = -2731 J.

Travail fourni au cours d'un cycle : W= -(Q1+Q2) = - 3107 J.

Un cycle correspond à deux tours du vilbrequin soit 2000 tours/min.

puissance du moteur : 3107*2000 / 60 = 103,6 kW.

Pratiquement le rendement est beaucoup plus faible car :

- les transformations ne sont pas complétement isochores.

-pertes de chaleur à travers les parois.

- présence de gaz résiduels

- modifications des pressions dues aux soupapes.

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