Aurélie 03/02
écoulement laminaire et perte de charge

résistance hydraulique et perte de charge

perfusion ; viscosité d'un liquide ; débit du sang

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Résistance hydraulique et perte de charge :

On se placera dans les conditions d'application de la loi de Poiseuille.

  1. Calculer la résistance hydraulique d'un tuyau de cuivre de 12 mm de diamètre intérieur et de longueur 15m, pour de l'eau chaude de viscosité 0,8.10-3 pascal .
    -Cinq tuyaux identiques sont disposés en parallèle. Quel est la résistance hydraulique de l'ensemble des cinq tuyaux ?
  2. Calculer la perte de charge dans l'installation pour un débit total de 180 L.min-1.
    - Exprimer cette perte de charge par la hauteur d'une colonne d'eau.

 

corrigé
perte de charge (Pa) = résistance hydraulique fois débit ( m3/s)

loi de Poiseuille ( écoulement laminaire)

Dp = 8h L/ (pr4) Qv.

résistance hydraulique 8h L/ (pr4) : L et r exprimés en mètres

Rh= 8*0,8 10-3*15 / (3,14*64 10-12) = 2,36 107 Pa m-3 s.

5 tuyaux en parallèle : les débits s'ajoutent soit Qv = 5Dp /Rh.

Dp = Qv Rh/ 5 .

résistance hydraulique de l'ensemble : 2,36 107 / 5 = 4,72 106 Pa m-3 s.

débit : 180 L/min = 0,18 /60 = 3 10-3 m3 /s

pertes de charge : Dp = 4,72 106 * 3 10-3 = 4,416 104 Pa.

hauteur d'eau correspondante : diviser par reau g soit :

4,416 104 / (9,8 103 ) = 1,45 m. 

Perfusion :

On veut perfuser en 60 min un patient avec un flacon de 500 ml de plasma de densité 1,03 et de viscosité 1,4 10-3 pascal. L'aiguille utilisée à une longueur de 3 cm et un diamètre intérieur de 0,4 mm. On négligera la résistance hydraulique des tubulures, et on supposera le régime d'écoulement permanent laminaire.

  1. Quel est le débit d'écoulement du plasma ?
  2. Calculer la résistance hydraulique de l'aiguille et en déduire la perte de charge.
  3. La pression veineuse du patient étant de 4 mm de mercure, à quelle hauteur minimale doit-on installer le flacon ?

    Données : g = 9,81 N.kg-1; Masse volumique du mercure : µ (Hg) = 13 600 kg. m-3.  

corrigé

débit volumique : 0,5 10-3 /3600 = 1,39 10-7 m3 /s.

résistance hydraulique aiguille :L = 0,03 m et r = 2 10-4 m

8h L/ (pr4) = 8*1,4 10-3*0,03 / (3,14*16 10-16 )= 6,69 1010 Pa m-3 s.

perte de charge : résistance fois débit

6,69 1010 * 1,39 10-7 = 9,28 103 Pa.

correspondance en hauteur d'eau : diviser par 9,8 103 donne 0,94 m. 

pression veineuse en hauteur d'eau :

760 mm Hg correspond à 0,76*9,8*13600 = 1,013 105 Pa ou 10,3 m d'eau

quand à 4 mm de mercure : 0,004 *10,3 / 0,760 = 0,0544 m

hauteur totale minimale : faire la somme soit 0,994 m d'eau

puis diviser par la densité du plasma : 0,965 m de plasma.

 

Viscosité d'un liquide :

Une huile de densité d = 0,86, est contenue dans un large réservoir dont le niveau est supposé constant à 30 cm du fond. Pour déterminer sa viscosité, on fait s'écouler par le fond du récipient, à travers un tube cylindrique horizontal de diamètre intérieur 4 mm et de longueur 15 cm. On supposera l'écoulement laminaire.

  1. Exprimer la perte de charge dans le tube de verre.
  2. Sachant qu'en une minute, le volume d'huile écoulé est de 53 mL, calculer la résistance hydraulique du tube.
  3. Calculer la viscosité de l'huile. 
corrigé

vitesse à l'entrée du petit tube V1 = racine carrée (2gh) = racine carrée (2*9,8*0,3) = 2,42 m/s

vitesse à la sortie de ce tube : débit réel (m3/s / section (m²) = (53 10-6/ 60) / (3,14 *4 10-6) = 0,07 m/s

relation de Bernoulli appliquée aux deux extrémités de ce tube horizontal :

à l'entrée du tube : ½rV1² + r gz1 + p1

à la sortie du tube : ½rV2² + r gz2 + p2 avec z1 = z2.

D p = ½r ( V1² - V2² ) = 0,5 *860 ( 2,42² -0,07²) = 2516 Pa

[si la densité est 0,86 la masse volumique est 860 kg/m3]

la loi de Poiseuille donne également les pertes de charge :

D p = 8h L / (pr4) Qv.

résistance hydraulique : D p / Qv= 2516 / (53 10-6/ 60) = 2,8 109 Pa m-3 s

8h L/ (pr4) = 8 h * 0,15 / (3,14 * 24 10-12) = 2,4 1010 h.

2,4 1010 h = 2,8 109 d'où la viscosité : 1,15 10-1 Pa. 

Débit du sang :

Chez un individu dont le pouls est de 70 pulsations par minute, chaque pulsation cardiaque envoie 75 cm3 de sang dans l'aorte dont la section vaut 2,8 cm2.

  1. Calculer le débit sanguin en L.min-1.
  2. Quelle est la vitesse moyenne du sang dans l'aorte ?
  3. Quelle est la vitesse suivant l'axe, en supposant le régime laminaire ?
  4. La section totale de l'ensemble des capillaires est de 2 500 cm2.Quelle est la vitesse moyenne d'écoulement du sang dans les capillaires ?
corrigé

70 / 60 = 1,116 pulsations /s

débit :0,075 * 1,166 = 0,0875 L/s = 8,75 10-5 m3/s ou 0,0875 *60 = 5,25 L/min.

section : 2,8 10-4 m²

vitesse moyenne (m/s) = débit (m3/s) / section (m²)= 0,312 m/s.

vitesse sur l'axe :

la distribution des vitesses du fluide s'exprime par :

v(r) = D p / (4h L) (R²-r²) = 2Qv / (pR4)(R²-r²)

R : rayon du tube ; distance de l'axe au point considéré ;

sur l'axe : v(r=0) =2Qv/ (pR2)= 2 * 0,312 = 0,624 m/s.

dans les capillaires de section 0,25 m² : 8,75 10-5 / 0,25 = 3,5 10-4 m/s. 

 

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