Aurélie 06/02
systèmes triphasés de tensions et de courants


tensions et intensités :

La figure 1 représente les 3 fils de phases numérotés 1, 2, 3 et le neutre N.

les tensions v(t) entre fil de phase et neutre sont les tensions simples, ayant même valeur efficace V, déphasées de p/3 ( 120°) ; les tensions entre fils de phases u(t) sont appelées tensions composées : elles ont même valeur efficace U et sont déphasées de p/3 ( 120°)

les vecteurs de Fresnel associés à ces tensions sont représentés sur les figure 4 et 3.

 

figure 1

figure 2

 

figure 3

figure 4


couplages des récepteurs :

couplage étoile :

chaque impédance est alimentée sous une tension simple ;

l'intensité du courant dans un fil de ligne est égale à l'intensité du courant dans une impédance.

si les trois impédances sont identiques le montage est dit équilibré et le courant dans le fil neutre est nul.

couplage triangle :

chaque impédance est alimentée sous une tension composée ;

l'intensité du courant dans un fil de ligne I diffère de l'intensité du courant J dans une impédance.

puissances ( quel que soit le couplage)

Dans quelles conditions 2 branchements, l'un en étoile, l'autre en triangle sont ils équivalents

Ils doivent consommer la même puissance active et réactive.

Zt =U / J et Ze = V / I

or I = J rac carrée (3) et U= V rac carrée (3) donc Zt =3Ze


 les composantes symétriques d'un système de trois vecteurs :

l'opérateur couramment désigné par a est le nombre complexe qui, appliqué à un vecteur, le fait tourner de 2p/3.

cet opérateur permet d'écrire les vecteurs tensions ou courant sous la forme :

V1 ; V2=V1 ; V3=aV1

I1 ; I2=I1 ; I3=aI1

ou encore

V1 = a V2= V3

I1 = a I 2= I 3

composante symétrique directe

Vd = 1/3(V1+a V2+ V3)

cas d'un système non équilibré

composante inverse

Vi = 1/3(V1+ V2+ a V3)

composante homopolaire

V0=1/3(V1+V2+V3)


exercice 1 :

Trois condensateurs de capacité C= 50 mF sont couplés en triangle. Ils sont alimentés par un réseau triphasé U=380V, f=50Hz. calculer :

  1. L'intensité efficace J circulant dans chaque condensateur.
  2. l'intensité efficace I du courant en ligne.
  3. La puissance réactive du récepteur.
  4. La tension maximale aux bornes d'un condensateur.
  5. On remplace le récepteur précédent par trois autres condensateurs de capacité C' couplés en étoile. Calculer :
    - la tension maximale aux borne d'un condensateur.
    - La capacité C' pour que la puissance réactive du second récepteur soit la même que celle du premier.

corrigé
impédance d'un condensateur : Z= 1/(Cw) avec w = 2p f = 314 rad/s.

Z=1 / ( 50 10-6 * 314) = 63,7 W.

la tension est égale à U aux bornes de chaque condensateur ; chaque condensateur est traversé par l'intensité efficace J

J= U/Z = 380/63,7 = 5,97 A.

intensité efficace en ligne I= 5,97 * racine carrée (3) = 10,3 A.

puissance réactive du récepteur : rac carrée (3) U I sin j avrec j = -p/2.

Q = 1,732*380*10,3 *(-1) = - 6800 var.

tension maximale aux bornes d'un condensateur : 380*racine carrée (2) = 537 V.


couplage étoile :

la tension efficace aux bornes de chaque condensateur de capacité C' est : 380 / rac carrée (3) = 220V

la tension maximale est 220*1,414 = 311 V.

si la puissance réactive est identique à -6800 var, alors l'intensité efficace en ligne est I= 10,3A ; chaque condensateur est traversé par l'intensité efficace I d'où l'impédance Z' = 220 / 10,3 =21,36 W.

Z' = Z / 3 donc C' = 3C = 150mF.


exercice 2 :

Une installation triphasée équilibrée est alimentée par un réseau 220V, 380 V, 50 Hz. Chaque fil de phase est assimilable à un circuit inductif série de résistance r = 0,6W et d'inductance L= 1,2 mH. L'installation comporte 30 lampes à incandescence marquées 100W- 200 V, également réparties sur les trois phases et deux moteurs triphasés M1 et M2 dont les caractéristiques nominales sont :

Moteur M1 : U=380 V; f=50Hz ; Pu1 = 4 kW ; cos j1 = 0,6 et rendement h 1 = 80%.

Moteur M2 : U=380 V; f=50Hz ; Pu2 = 3 kW ; cos j2 = 0,7 et rendement h2 = 85%.

  1. Lorsque tous les appareils fonctionnent ensemble, calculer :
    - la puissance active totale.
    - la puissance réactive totale.
    - la puissance apparente totale.
    - l'intensité efficace du courant dans chaque fil de ligne.
    - le facteur de puissance de l'installation.
    - la valeur efficace U1de la tension au départ de la ligne.
    - les spertes totales par effet joule dans les fils de ligne ( les exprimer en pourcentage de la puissance P1 au départ de la ligne).
  2. Afin de relever le facteur de puissance de l'installation, trois condensateurs couplés en triangle sont branchés en parallèles aux bornes de l'installation. L a capacité de chaque condensateur est C= 35 mF. Calculer :
    - la puissance réactive de l'ensemble installation-condensateurs.
    - le facteur de puissancej2 .
    - l'intensité efficace I2 du courant dans chaque fil de ligne.
    - la valeur efficace U2de la tension au départ de la ligne.
    - les pertes totales par effet joule dans les fils de ligne ( les exprimer en pourcentage de la puissance P1 au départ de la ligne).
    - Quelles sont les améliorations apportées par le relèvement du facteur de puissance.

corrigé
les puissances actives des récepteurs s'ajoutent :

30 lampes : 30*100 = 3000 W

M1 : P1 puissance active = puissance utile / rendement = 4000 /0,8 = 5 000 W

M2 : P1 =3000 /0,85 = 3530 W

puissance active totale : P= 11 530 W.


les puissance réactives s'ajoutent :

les lampes à incandescence ne consomment pas de puissance réactive

M1 : Q1 = 1,732 UI sin j1 = P1 tanj1 avec j1 =cos-1 0,6 = 53,13° donc Q1 = 6 666,7 var

M2 : Q2 = 1,732 UI sin j2 = P2 tanj2 avec j2 =cos-1 0,7 = 45,6° donc Q2 = 3600 var

total puissance réactive : Q = 10267 var.


puissance apparente S² = P² + Q²

S² = 11530² + 10267² = 2,38 108 soit S = 15440 VA.

facteur de puissance de l'installation : cos j = P/S =11530/15440 = 0,746.

intensité efficace du courant dans chaque fil de phase I = S/(1,732 U) = 15440/(1,732*380) = 23,4 A.

impédance de chaque fil : Zl² = r² + (Lw)² avec w = 2pf = 314 rad/s.

Zl² = 0,6² + (1,2 10-3*314)² = 0,5 d'où Z = 0,71 W.

impédance Z = V / I avec V= 380/1,732 = 219,4 V et I = 23,4A

Z =219,4/ 23,4 = 9,38 ohms

Z+Zl = V1 / I doù V1 = (0,71+9,38)*23,4 = 236 V soit U1 = 1,732 V1 = 408,8 V.

pertes par effet joule dans un fil : ri² = 0,6*23,4² = 328,5 W

dans les trois fils : 328*3 = 986 W

puissance en début de ligne : Pl =11530 + 986 = 12516 w

les pertes par effet joule représentent : 986*100/12516 = 8%


on relève le facteur de puissance :

puissance réactive des condensateurs : Q1= - 3 Cw

Q1= -3 * 35 10-6 *314*380² = -4760 var

total installation : Q2= 10270-4760 = 5510 var.

puissance active inchangée ( les condensateurs ne comsomment pas de puissance active) P = 11530 W.

S2² = Q2² + P² = 5510² + 11530² d'où S = 12780 VA

facteur de puissance de l'installation : cos j2 = P/S =11530/12780 = 0,90.

intensité efficace du courant dans chaque fil de phase I2 = S/(1,732 U) = 12780/(1,732*380) = 19,4 A.


impédance Z = V / I2 avec V= 380/1,732 = 219,4 V et I2 = 19,4,4A

Z =219,4/ 19,4 = 11,3 ohms

Z+Zl = V1 / I2 doù V1 = (0,71+11,3)*19,4 = 233 V soit U2 = 1,732 V1 = 403,5 V.

pertes par effet joule dans un fil : ri² = 0,6*19,4² = 256 W

dans les trois fils : 226*3 = 678 W

puissance en début de ligne : P2 =11530 + 678 = 12207 W

les pertes par effet joule représentent : 678*100/12207 = 5,6%

Les pertes par effet joule sont diminuées ;

diminution de la pauissance apparente à fournir en départ de ligne.


On a un réseau 220/380V 50 Hz. Il y a monté en étoile :

- 3 pompes (Puisance utile 2 kW ; facteur de puissance 0,7; rendement 0,95 et fréquence de rotation n'= 1480 tr/min pour chaque pompe)

-1 broyeur ( Puissance utile 1 kW ; facteur de puissance 0,75 ; rendement 0,9)

-2 pompes (facteur de puissance 0,8 ; fréquence de rotation n'=2950 tr/min et une puissance absorbé de 1,5 kVA pour chaque pompe )

  1. Quelles sont les puissances actives, réactives apparente?
  2. Quelle est l'intensité efficasse dans chaques fils de phase ?
  3. Quel est le facteur de puissance de l'instalation ?

corrigé
 puissance active : P= (racine carrée (3) U I cos j

Puissance réactive : Q= (racine carrée (3) U I sin j = P tan j

Puissance apparente ( Pabsorbée) : S = (racine carrée (3) U I = P/cos j

Puissance active(W)

= Putile / rendement

Q (var)
S( VA)
pompe n°1
2000/0,95=2105

2105*3=6315

cos j = 0,7 ; tan j = 1,02

Q= 2105*1,02=2147

2147*3=6441

2105/0,7 = 3007

3*3007=9021

broyeur
1000/0,9=1111
cos j = 0,75 ; tan j = 0,882

Q= 1111*0,882=980

1111/0,75=1481

pompe n°2
1500*0,8 =1200

1200*2=2400

cos j = 0,8 ; tan j = 0,75

Q= 1200*0,75 = 900

900*2=1800

1500

1500*2 =3000

total
9826
9221
(P2+Q²)½=13475
Intensité :

pompe n°1 : I = P/((racine carrée (3) U cos j )= 2105/(1,732*380*0,7)= 4,57 A pour une pompe

Pour les 3 pompes: Iphase = 3*4,57 = 13,71 A .

broyeur : I = P/((racine carrée (3) U cos j )= 1111/(1,732*380*0,75)= 2,25 A

pompe n°1 : I = P/((racine carrée (3) U cos j )= 1200/(1,732*380*0,7)= 2,28 A pour une pompe

Pour les 2 pompes: Iphase = 2*2,28 = 4,56 A

Intensité totale de phase : 13,71 + 2,25 + 4,56 = 20,52 A.

facteur de puissance de l'installation : P/S= 9826/13475 = 0,73.


retour - menu