les tensions v(t) entre fil de phase et neutre sont les tensions simples, ayant même valeur efficace V, déphasées de p/3 ( 120°) ; les tensions entre fils de phases u(t) sont appelées tensions composées : elles ont même valeur efficace U et sont déphasées de p/3 ( 120°)

les vecteurs de Fresnel associés à ces tensions sont représentés sur les figure 4 et 3.

figure 1	figure 2
figure 3	figure 4

chaque impédance est alimentée sous une tension simple ;

l'intensité du courant dans un fil de ligne est égale à l'intensité du courant dans une impédance.

si les trois impédances sont identiques le montage est dit équilibré et le courant dans le fil neutre est nul.

couplage triangle :

chaque impédance est alimentée sous une tension composée ;

l'intensité du courant dans un fil de ligne I diffère de l'intensité du courant J dans une impédance.

puissances ( quel que soit le couplage)

Dans quelles conditions 2 branchements, l'un en étoile, l'autre en triangle sont ils équivalents

Ils doivent consommer la même puissance active et réactive.

Z_t =U / J et Z_e = V / I

or I = J rac carrée (3) et U= V rac carrée (3) donc Z_t =3Z_e

l'opérateur couramment désigné par a est le nombre complexe qui, appliqué à un vecteur, le fait tourner de 2p/3.

cet opérateur permet d'écrire les vecteurs tensions ou courant sous la forme :

	V1 ; V2=a²V1 ; V3=aV1 I1 ; I2=a²I1 ; I3=aI1 ou encore V1 = a V2= a² V3 I1 = a I 2= a² I 3
composante symétrique directe Vd = 1/3(V1+a V2+ a² V3)	cas d'un système non équilibré composante inverse Vi = 1/3(V1+a² V2+ a V3) composante homopolaire V0=1/3(V1+V2+V3)

Z=1 / ( 50 10^-6 * 314) = 63,7 W.

la tension est égale à U aux bornes de chaque condensateur ; chaque condensateur est traversé par l'intensité efficace J

J= U/Z = 380/63,7 = 5,97 A.

intensité efficace en ligne I= 5,97 * racine carrée (3) = 10,3 A.

puissance réactive du récepteur : rac carrée (3) U I sin j avrec j = -p/2.

Q = 1,732*380*10,3 *(-1) = - 6800 var.

tension maximale aux bornes d'un condensateur : 380*racine carrée (2) = 537 V.

la tension efficace aux bornes de chaque condensateur de capacité C' est : 380 / rac carrée (3) = 220V

la tension maximale est 220*1,414 = 311 V.

si la puissance réactive est identique à -6800 var, alors l'intensité efficace en ligne est I= 10,3A ; chaque condensateur est traversé par l'intensité efficace I d'où l'impédance Z' = 220 / 10,3 =21,36 W.

Z' = Z / 3 donc C' = 3C = 150mF.

30 lampes : 30*100 = 3000 W

M₁ : P₁ puissance active = puissance utile / rendement = 4000 /0,8 = 5 000 W

M₂ : P₁ =3000 /0,85 = 3530 W

puissance active totale : P= 11 530 W.

les lampes à incandescence ne consomment pas de puissance réactive

M₁ : Q₁ = 1,732 UI sin j₁ = P₁ tanj₁ avec j₁ =cos^-1 0,6 = 53,13° donc Q₁ = 6 666,7 var

M₂ : Q₂ = 1,732 UI sin j₂ = P₂ tanj₂ avec j₂ =cos^-1 0,7 = 45,6° donc Q₂ = 3600 var

total puissance réactive : Q = 10267 var.

S² = 11530² + 10267² = 2,38 10⁸ soit S = 15440 VA.

facteur de puissance de l'installation : cos j = P/S =11530/15440 = 0,746.

intensité efficace du courant dans chaque fil de phase I = S/(1,732 U) = 15440/(1,732*380) = 23,4 A.

impédance de chaque fil : Z_l² = r² + (Lw)² avec w = 2pf = 314 rad/s.

Z_l² = 0,6² + (1,2 10^-3*314)² = 0,5 d'où Z = 0,71 W.

impédance Z = V / I avec V= 380/1,732 = 219,4 V et I = 23,4A

Z =219,4/ 23,4 = 9,38 ohms

Z+Z_l = V₁ / I doù V₁ = (0,71+9,38)*23,4 = 236 V soit U₁ = 1,732 V₁ = 408,8 V.

pertes par effet joule dans un fil : ri² = 0,6*23,4² = 328,5 W

dans les trois fils : 328*3 = 986 W

puissance en début de ligne : P_l =11530 + 986 = 12516 w

les pertes par effet joule représentent : 986*100/12516 = 8%

puissance réactive des condensateurs : Q₁= - 3 Cw U²

Q₁= -3 * 35 10^-6 *314*380² = -4760 var

total installation : Q₂= 10270-4760 = 5510 var.

puissance active inchangée ( les condensateurs ne comsomment pas de puissance active) P = 11530 W.

S₂² = Q₂² + P² = 5510² + 11530² d'où S = 12780 VA

facteur de puissance de l'installation : cos j₂ = P/S =11530/12780 = 0,90.

intensité efficace du courant dans chaque fil de phase I₂ = S/(1,732 U) = 12780/(1,732*380) = 19,4 A.

Z =219,4/ 19,4 = 11,3 ohms

Z+Z_l = V₁ / I₂ doù V₁ = (0,71+11,3)*19,4 = 233 V soit U₂ = 1,732 V₁ = 403,5 V.

pertes par effet joule dans un fil : ri² = 0,6*19,4² = 256 W

dans les trois fils : 226*3 = 678 W

puissance en début de ligne : P₂ =11530 + 678 = 12207 W

les pertes par effet joule représentent : 678*100/12207 = 5,6%

Les pertes par effet joule sont diminuées ;

diminution de la pauissance apparente à fournir en départ de ligne.

Puissance réactive : Q= (racine carrée (3) U I sin j = P tan j

Puissance apparente ( P_absorbée) : S = (racine carrée (3) U I = P/cos j

	Puissance active(W) = Putile / rendement	Q (var)	S( VA)
pompe n°1	2000/0,95=2105 2105*3=6315	cos j = 0,7 ; tan j = 1,02 Q= 2105*1,02=2147 2147*3=6441	2105/0,7 = 3007 3*3007=9021
broyeur	1000/0,9=1111	cos j = 0,75 ; tan j = 0,882 Q= 1111*0,882=980	1111/0,75=1481
pompe n°2	1500*0,8 =1200 1200*2=2400	cos j = 0,8 ; tan j = 0,75 Q= 1200*0,75 = 900 900*2=1800	1500 1500*2 =3000
total	9826	9221	(P2+Q²)½=13475

Intensité :

pompe n°1 : I = P/((racine carrée (3) U cos j )= 2105/(1,732*380*0,7)= 4,57 A pour une pompe

Pour les 3 pompes: I_phase = 3*4,57 = 13,71 A .

broyeur : I = P/((racine carrée (3) U cos j )= 1111/(1,732*380*0,75)= 2,25 A

pompe n°1 : I = P/((racine carrée (3) U cos j )= 1200/(1,732*380*0,7)= 2,28 A pour une pompe

Pour les 2 pompes: I_phase = 2*2,28 = 4,56 A

Intensité totale de phase : 13,71 + 2,25 + 4,56 = 20,52 A.

facteur de puissance de l'installation : P/S= 9826/13475 = 0,73.

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