aurélie 10 / 2003

 

résonance et antirésonance d'après ENAC

E= 20 V ; L= 2 mH ; C=0,2 mF ; à l'instant initial où l'on applique la tension E, bobine et condensateur ne stockent aucune énergie.

  1. Donner l'expression de la charge q d'un condensteur en fonction du temps (fig 1).
    - Donner l'expression de la tension aux bornes d'un condensateur, notée uC(t).
    - Donner l'expression de vM-vN.
    - En déduire sa valeur maximale.
  2. Figure 2 : amplitude de la tension e(t) : E=20 V ; Bobines et condensateurs ne sont pas identiques.
    - Le courant de pulsation w1 tel que L1C1w12 = 1, traverse-t-il le circuit ?
    - Même question avec w2 tel que L2C2w22 = 1.
  3. Pour quelle pulsation w3 obtient -on un circuit bouchon ?.
    - Calculer la fréquence N3 correspondant à w3 pour L1=2 mH, L2 = 1 mH, C1= 1mF et C2 = 0,02 m F.
  4. A la fréquence N3, quelle est l'amplitude de l'intensité du courant I (mA) circulant dans les branches AM1B et AM2B ?
corrigé
Le générateur de tension est idéal , on écrit la loi des mailles dans chaque branche :

E=uC(t) + Ldi/dt avec q(t) = CuC(t) et i(t) = dq /dt = CduC/dt ; di/dt = d2q /dt 2= Cd2uC/dt 2

d'où l'équation différentielle régissant la charge q(t) :

E = q(t) / C +L d2q /dt 2

CE = q(t) + LC q"(t) .(1)

solution générale de (1) = solution particulière de (1) + solution générale de 0= q(t) + LC q"(t) .

solution particulière de (1) : q= CE

solution générale de q(t) + LC q"(t) =0 : q(t) = A cos (wt+j) avec w=(LC)-½ = (2 10-3 * 2 10-7)-½= 5 104 rad/s.

solution générale de (1) : q(t) = A cos (wt+j) +CE

i(t) = -Aw sin (wt+j) ; à l'instant t=0, i=0 d'où 0 =-Aw sinj soit j=0 ou j=p.

à t=0 , la charge q est nulle : 0= A cosj +CE soit A = -CE si j= 0 ou A=CE avec j= p.

q(t) = -CE cos (wt)+CE = CE(1-cos (wt)).

avec CE= 2 10-7*20= 4 10-6 coulomb.

uC(t) = q(t) / C= E(1-cos (wt)).

la tension est maximale si cos (wt) = -1 et vaut 2E= 40 V.

 vM-vN= vM-vA+vA-vN

 le courant va de A vers M : vA-vM= Ldi/dt et vM-vA= -Ldi/dt

 le courant va de A vers M : vA-vN= uC(t)

 vM-vN= -Ldi/dt + uC(t) = -LCd2uC/dt 2 + uC(t)

uC(t) = E(1-cos (wt)) ; u'C(t) = Ew sin (wt) ; u"C(t) = Ew2 cos (wt) ;

vM-vN= -LCEw2 cos (wt) +E(1-cos (wt)) vec LCw2 =1

vM-vN=E(1-2cos (wt)).

valeur maximale si cos (wt) = -1 soit 3E=60V.

impédance complexe de la branche 1 : z1=j[L1w - 1/(C1w)]

intensité complexe i1 = E / z1= E / [j(L1w - 1/(C1w))]

impédance complexe de la branche 2 : z2=j[L2w - 1/(C2w)]

intensité complexe i2 = E / z2= E / [j(L2w - 1/(C2w))]

intensité complexe dans la branche de la source i = i1 + i2

 

si w tend vers w1 ou vers w 2 le dénominateur tend vers zéro et l'intensité tend vers l'infini.

par contre l'intensité est nulle si le numérateur est nul soit :

w 32=1/(L1+L2) [1/C1+1/C2]

fréquence N3 correspondant à w 3 :

w 32= 103 / 3 *106[1/1+1/0,02]=1,7 1010.

w 3 = 1,3 105 rad/s d'où N3 = 1,3 105 / (2p) =2,07 104 Hz = 20,7 kHz.

w 12= 1/(L1C1)=109 / 2 =5 108.

w 1 = 2,23 104 rad/s d'où N1 = 2,23 104 / (2p) =3,55 103 Hz = 3,55 kHz.

w 22= 1/(L2C2)=109 / 0,02 =5 1010.

w 2 = 2,23 105 rad/s d'où N2 = 2,23 105 / (2p) =3,55 104 Hz = 35,5 kHz.

N3 est comprise entre N1 et N2.

intensité dans chaque branche si N=N3.

i1 = E / [j(L1w 3 - 1/(C1w 3))]

module de i1 : E/[(L1w 3 - 1/(C1w 3))]=20 / (260-7,7) = 0,079A = 79 mA.

i1 +i2 = 0 soit i1 = -i2 .

Les deux nombres complexes i1 et i2 sont opposés : ils ont même module mais leurs arguments sont opposés.

Les intensités ont même module mais sont en opposition de phase ( circuit bouchon).

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