simulation d'un élément d'un radiotélescope   Deux tensions : a(t)=1,414 A cos(2pfat) et e0 (t)= 1,414 E0 cos (2pf0t+j0) avec fa = 1420 Hz et f0 = 1450 Hz. sont appliquées aux entrées d'un multiplieur. La tension de sortie est : m(t)= a(t) e0(t). - Montrer que m(t) est la superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquence f et f '<f : m(t) = M[cos (2pft+j0) + cos (2pf 't+j0)]. - Calculer f et f '. Filtre - Quel est le type de filtre ? - Déterminer sa fonction de transfert H(x) en fonction de x= wRC. - Déterminer sa pulsation de coupure w C en fonction de R et C. - Le diagramme de Bode en gain de ce filtre est représenté ci-dessous. Donner une valeur approchée du produit RC. - En haute fréquence, quelle est la propriété du filtre ? Que devient le déphasage de s(t) par rapport à e(t) ? A l'entrée de ce filtre on injecte le signal m(t). La tension de sortie sortie est : s(t) = Scos (2pft+jS) +S' cos (2pf 't+jS')] - Calculer S/S' à partir du diagramme de Bode. corrigé rappel mathématique : cos(a) cos(b) = ½[cos (a+b) + cos (a-b)] a = 2pf0t+j0 et b= 2pfat ; a+b = 2p(f0+fa)t +j0 ; a-b = 2p(f0-fa)t +j0 ; m(t) = AE0[cos (2p(f0+fa)t +j0) + cos (2p(f0-fa)t +j0 )] soit f = f0+fa = 1420+1450=2870 Hz et f ' = f0-fa= 1450-1420= 30 Hz. filtrage : à basse fréquence le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert ; à haute fréquence il se comporte comme un court-circuit. Les schémas équivalents montrent que ce filtre est un passe bas. La fonction de transfert s'écrit : H(t) = S / E admittance équivalente à R et C en dérivation : Y= 1 / R + jCw = [1 +jRCw] / R et l'impédance est Z = 1/ Y = R / [1 +jRCw]= R / [1 +jx] montage équivalent : H(x) = Z / (R+Z) avec R+Z = R+R / [1 +jx] = R(2+jx) / (1+jx) H(x) = 1 / (2+jx)= (2+jx)-1. le gain du filtre est maximal à fréquence nulle ( x=0) : H = (4+x²)-½. Hmax = ½. La pulsation de coupure à - 3 dB est telle que H(wC) = Hmax / 2½ soit x2 = 4 et RCwC= 2. La fréquence de coupure sur le graphe vaut environ 150 Hz : d'où wC = 2*3,14*150 = 942 rads-1 et RC = 2/942 = 2,1 10-3 s. En haute fréquence, la fonction de transfert s'écrit ( jx >> 2) : H(w) = 1 / (jRC w) en conséquence le signal de sortie est l'intégrale du signal d'entrée. Sur le diagramme de Bode en gain on observe une pente de -20 dB par décade. Si le signal d'entrée est sinusoïdal, le signal de sortie présente un retard de ½p. mélangeur : Le filtre est linéaire : le signal de sortie est obtenu en ajoutant les réponses aux deux composantes du signal d'entrée qui de plus ont la même amplitude. Le rapport des amplitudes de sortie est donc S/ S' = H(f) / H(f ') lecture du gain en dB sur le diagramme de Bode GdB = 20 log H soit log(S / S') = [(GdB(f)-GdB(f' )]/ 20= 11,5*2,5 / 20 = 1,43. S/S' = 101,43 = 27; le filtre ne laisse donc passer que la composante basse fréquence du signal. retour - menu