On s'intéresse à quelques propriétés des oscillateurs à une dimension, c'est à dire dont l'évolution en fonction du temps peut être analysée par une fonction x(t). On appelle oscillateur harmonique tout système dont la fonction x(t) correspondante est solution de l'équation différentielle :

w₀ rad/s,est la pulsation propre de l'oscillateur

le pendule élastique :

On considère un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G. Quand S est immobile dans le référentiel dulaboratoire, G est en O, origine de l'axe horizontal x'x. Le solide S a pour seul mouvement possible une translation restiligne le long de l'axe x'x.

S est soumis a une seule force, la tension T d'un ressort élastique de constante de raideur k, de masse négligeable. Il n'y a pas de frottement et le poids du solide est compensé par la réaction du support. La position de S est repérée par l'abscisse de G.

1. Montrer qu'on a réalisé là un oscillateur harmonique dont l'évolution au cours du temps est régie par l'équation :

   Expliciter la fonction x(t) si les conditions initiales du mouvement sont à t=0, x(0)=A, amplitude positive et v(0) =0.

2. On appelle espace des phases( dans ce cas précis, plan des phases) le plan de coordonnées {x, dx/dt}. Quel est pour l'oscillateur harmonique, la trajectoire du point P caractéristique de l'état du système dans l'espace des phases?
3. de quelle fonction énergie potentielle la tension T dérive-t-elle? Retrouver l'équation ci-dessus en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.

Autres oscillateurs :

1. Le solide S précédent assimilable à un point matériel, est mobile sans frottement le long de l'axe des x. Il est soumis à une force F colinéaire à l'axe x'x et dérivant d'une fonction énergie potentielle Ep(x) qui ne dépend pas explicitement du temps
   - deux trajectoires du point P de l'espace des phases, défini à la question précédente, peuvent-elles se couper?
   - Quelles conditions Ep(x) et ses dérivées par rapport à x doivent-elles vérifier pour que le mouvement de M soit, au voisinage d'une position d'équilibre M₀, d'abscisse x₀ assimilable à celui d'un oscillateur harmonique.
2. Le champ de force est réalisé de la façon suivante : le point M est mobile sans frottement sur l'axe x'x par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l₀. O étant la projection orthogonale de A sur l'axe des x, on posera OA = l qui peut être plus grande ou plus petite que l₀.

   - Exprimer l'énergie potentielle Ep(x) en fonction de x et des paramètres k, l et l₀.
   - Y a-t-il des positions d'équilibre? Quelles sont les allures de la fonction Ep(x)?
   - Au voisinage de ces positions peut-on parler d'oscillateur harmonique?

3. Différents systèmes physiques peuvent être modélisés par un solide S assimilable à un point matériel de masse m mobile le long d'un axe des x, soumis à une tension d'un ressort et à une force de frottement visqueux, c'est à dire opposée à la vitesse( - lx'). l constante positive.
4. Etablir l'équation différentielle vérifiée par x(t). Indiquer l'allure des solutions suivant la valeur du coefficient l.
   - Pourquoi un dispositif de feinage à courants de Foucault réalise t-il mieux une telle force de freinage qu'une palettee dans un liquide?
   - Que penser du cas l<0?

pendule pesant :

Il est constitué d'un solide de masse m et de centre de gravité G, mobile, sans frottement autour d'un axe horizontal D, perpendiculaire au plan de la figure. Le moment d'inertie du solide par rapport à cet axe est J

1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par q(t). Montrer que si q reste petit, le pendule pesant peut être assimilé à un oscillateur harmonique de pulsation propre w²₀ = mga / J.
2. Etudier briévement le cas d'un pendule simple pour lequel le solide est constitué d'un point matériel de masse m suspendu à un fil tendu, sans masse de longueur l.