mécanique

Aurelie novembre 2000

travail et puissance

puissance

travail

Une particule se déplace dans un champ de forces

Suivant la trajectoire définie par les équations paramétriques, dans le système des unités SI:

x=3t ; y=2t²; z=t-2

Calculer la puissance reçue par la particule à l'instant t.
Quelle est la position de la particule lorsque cette puissance est minimale?
Calculer le travail fourni par le champ de forces entre les instants t₁=0s et t₂= 2s?
Quel est ce travail si la particule est astreinte à se déplacer en ligne droite de sa position à l'instant t₁=0 à sa position à l'instant t₂=2s? Conclusions?

corrigé

puissance :

z-x = t-2 -3t = -2-2t ;

2z²-x = 2(t-2)²-3t = 2t²-11t + 8

vecteur force (25t²/3 ; -2-2t ; 2t²-11t + 8 )

vecteur vitesse : dérivée du vecteur position par rapport au temps

( 3 ; 4t ; 1)

puissance : produit scalaire entre vecteur force et vecteur vitesse

P= 12,5 *2t² + (-2-2t)*4t + 2t²-11t + 8

P= 19t² -19t +8

la puissance passe par une valeur extrème (mini ou maxi) lorsque sa dérivée par rapport au temps est nulle ; soit 38t-19 =0 ou t= 0,5 s

à t < 0,5 s, la dérivée est négative donc la puissance diminue, passe par un minimum à t=0,5 s puis croît pour t>0,5 s.

position de la particule à t=0,5 s :

x= 3*0,5 = 1,5 ; y= 2*0,5² = 0,5 ; z= 0,5-2 = -1,5.

travail entre t = 0 et t = 2s :

si le déplacement s'effectue suivant un segment de droite AB, le travail est égal à :

coordonnées de A ( position initiale à t=0) : (0 ; 0 ; -2)

coordonnées de B (position finale à t=2) : (6 ; 8 ; 0)

vecteur déplacement : (6 ; 8 ; 2 )

vecteur force (25t²/3 ; -2-2t ; 2t²-11t + 8 )

travail = produit scalaire vecteur force par vecteur déplacement :

50 t²+8(-2-2t)+2*(2t²-11t + 8 ) = 50 t²-38 t

à t= 2 s, ce travail est égal à : 140 J

le travail dépend du chemin suivi, les deux valeurs du travail étant différentes entre t=0 et t=2 s.

La force n'est pas conservative.