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équation différentielle impédance |
Un circuit RL de résistance 2 ohms et d'inductance L=0,1 H est alimenté sous une tension alternative de 220 V, 50 Hz par l'intermediaire d'un thyristor dont l'amorcage se produit au passage à 0 par valeurs croissantes de la tension. Déterminer l'équation différentielle régissant le circuit et la résoudre. corrigé |
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Umax =220*1,414 = 311 volts w= 2p f =2*3,14*50 =314 rad/s u(t)= 311 sin (314 t). équation différentielle : tension aux bornes de la bobine L di /dt = L i' = 0,1 i' tension aux bornes de la résistance : R i =2 i L di/dt + Ri = Umax sin (wt) (1) méthode générale de résolution : résoudre d'abord l'équation sans second membre i' + R/L i=0 avec R/L = 20 la constante de temps du circuit est 1/20 = 0,05 s valeur supérieure à la période 0,02 s la bobine introduit un retard à l'établissement du courant solution i(t) = I exp (-20t) +Cte solution particulière de l'équation (1) i(t) = I sin (wt + j) puis additionner i(t) = I exp (-20t) + I sin (wt + j) + Cte le premier terme s'annule au bout de quelques dixièmes de seconde, il correspond au régime transitoire seul le terme en sinus subsiste en régime permanent avec impédance du circuit Z = racine carrée ((Lw)² + R²) = 31,46 ohms amplitude de l'intensité I = U max / Z = 311 / 31,46 = 9,88 A et tan j = Lw / R = 31,4 / 2 d'où j = 1,507 rad dans ce circuit inductif l'intensité est en retard sur la tension de l'angle j . i(t) = 9,88 exp (-20t) + 9,88 sin (314 t - 1,507) .
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