On considère l'intégrale suivante :

 

1. Si x et R ont les dimensions d'une longueur, quelle est la dimension de I ? Calculer I en effectuant le changement de variable x=cos²q.

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   corrigé

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On suppose que le mouvement de la terre de masse m autour du soleil est un mouvement circulaire uniforme de rayon R, de vitesse v₀. Terre et Soleil sont assimilés à des points matériels.

1. Donnez l'expression de la force exercée par le soleil sur la terre ainsi que l'expression de la vitesse v₀ en fonction de Ms et /ou m , de la constante de gravitation G et de R.

On imagine que la vitesse de la terre s'annule brusquement. Celle ci soumise uniquement à la force de gravitation exercée par le soleil va donc finir par tomber sur le soleil. La terre décrit une trajectoire rectiligne et on se propose de déterminer la durée de la chute, tout frottement étant négligé.

1. Exprimer l'énergie cinétique de la terre lorsque celle ci se trouve à la distance x du soleil.
2. L'énergie potentielle de la terre dans le champ de gravitation du soleil est de la forme où K est une constante positive. Exprimer l'énergie mécanique de la terre.

1. En déduire que l'équation différentielle qui régit la chute est du type dt=g(x) dx où g(x) est une fonction de x que l'on précisera.
2. Intégrer cette équation différentielle et montrer que le temps de chute T_c ne dépend que de K et R.
3. K peut se mettre sous la forme K= G^a Ms^b. A partir d'une analyse dimentionnelle en déduire a et b.
4. Calculer T_c en jours.

• diviser chaque terme par la masse m
• faire passer les termes d'énergie potentielle à droite du signe égal
• réduire au même dénominateur
• prendre la racine carrée de chaque membre
• la vitesse est la dérivée de l'abscisse x par rapport au temps

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