La partie mécanique d'un haut parleur est constituée d'une membrane mobile, en forme de cône, solidaire d'un mandrin cylindrique sur lequel est enroulé le fil du bobinage. L'ensemble est maintenu en place par des suspensions élastiques qui jouent le rôle de guidage (le mouvement est limité à une translation de l'équipage mobile) . La partie mobile peut être représentée par une masse m, assimilable à un point matériel, mobile sans frottement sur une tige horizontale Oz. Elle est rappelée vers sa position d'équilibre (le point O) par un ressort de masse négligeable, de raideur k, pouvant travailler en extension comme en compression. On repère le point M par son abscisse z.

1. On écarte M de sa position d'équilibre et on le lache sans vitese à l'instant t=0, à l'abscisse z₀. Ecrire l'équation différentielle du mouvement de M.
2. En déduire la pulsation et la période T₀ du mouvement.
3. Calculer la période et la fréquence si m=8g et k=1536 Nm^-1.

1. Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement
2. Le système fonctionne en régime critique, déterminer en fonction de k et m la valeur fc de f. calculer fc.
3. Ecrire l'équation différentielle en fonction de w₀ et a=f / fc.
4. La masse m étant abandonnée sans vitesse en z₀ à l'instant t=0, donner l'allure des graphes z=f(t) lorsquea est supérieur, inférieur ou égal à 1.
5. Dans le cas où a est inférieur à 1, déterminer l'expression de la pseudo période T en fonction de T₀ et a. Calculer T pour a =0,1.
6. Lorsque a est nettement inférieur à 1, on peut considérer que le mouvement est sinusoïdal de périodeT₀.( z=a cos(wt+f) Exprimer l'énergie E de cet oscillateur en fonction de k et a puis en fonction de m, w₀ et a.
7. Calculer la valeur W du trawail de la force de frottement mis en jeu au cours d'une période en fonction de m, a, w₀ et a.
8. En déduire l'expression du rapport Q=-2p E / W en fonction de m, f et w₀ . Quel nom donne t-on habituellement à Q

• a<1 D'<0 frottement faible régime pseudopériodique
• a=1 D'=0 régime critique
• a>1 D'>0 , frottement important, régime apériodique.

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frottement faible a<1, les solutions de l'éqution différentielle sont de la forme :

à t=0 : z=z₀ et z'=0 permettent de déterminer A et j.(A=z₀et j=0)

La pseudo-période est égale à : ( a très faible devant 1)

application numérique : T=14,3 ms

l'écart relatif est a²/2 = 0,5%

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L'énergie de cet oscillateur est la somme de son énergie potentielle élastique ( énergie potentielle de pesanteur est constante, mouvement sur une horizontale) et de son énergie cinétique.

E=0,5 mv²+0,5 kz² = 0,5 mw₀²sin²(w₀t+j)+0,5 ka²cos²(w₀t+j)

or k=mw₀² d'où E=0,5 ka².

travail de la force de frottement au cours d'une période :

Expression du facteur de qualité Q de l'oscillateur :

 

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1. Déterminer la force magnétique exercée sur l'enroulement lorsqu'il est parcouru par un courant i.
2. On impose un courant i sinusoïdal i=I₀sin wt. Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement de M en fonction de w₀, a,i B, l et m. Quelle est la signification physique de l'équation sans second membre ? Qu'appelle t-on régime forcé ?
3. On cherche en régime forcé une solution de la forme z=a cos (wt.+j). Déterminer a et j.
4. Tracer l'allure de la courbe a/I₀ =f(t) si a<<1 et a>>1. Faire apparaître la grandeur Q sur le graphique.

1. L'équipage mobile étant animé d'une vitesse v, calculer la valeur de la fem aux bornes de la bobine.
2. Ecrire l'équation aux mailles relative au circuit de l'enroulement.
3. En combinant cette relation à l'équation différentielle précédente, montrer que le produit ui se met sous la forme de 5 termes dont on donnera la sigification.
4. Bilan de puissance de fonctionnement : la puissance acoustique est mesurée à l'aide d'un sonomètre. Le haut parleur est monté sur un baffle, il rayonne de façon isotrope dans le demi espace face au haut parleur.. Le sonomètre étant placé à 1 m du haut parleur, on peut considéré que la souce est quasi ponctuelle. Le haut parleur est alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence variable mais de valeur efficace u constante. L'intensité sonore en dB est I_db=10 log (I/10^-12)

   fréquence Hz	P électrique watt	Intensité dB
   60	0,196	89
   200	0,847	99

• Calculer l'intensité acoustique pour les 2 fréquence données.
• En déduire la puissance acoustique émise par le haut parleur et son rendement acoustique.
• Que devient la puissance électrique non transformée en puissance acoustique.