Aurélie mars 2001

puissances électriques

th. de Boucherot : S puissances absorbées par les appareils en dérivation

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Th de Boucherot

puissances

L'impédance de la ligne est assimilable à une résistance R=0,1 W en série avec une inductance L=0,1 mH.

tension aux bornes de l'installation u(t) =325 sin(wt+j)

tension début de ligne e(t) = 1,414 E sin(wt) avec f=50 Hz

L'installation comprend : (tout fonctionne simultanément)

  • 15 lampes de 100W
  • 2 moteurs électriques : puissance absorbée 3kW et facteur de puissance 0,7
  • 6 moteurs électrique: puissance utile 4500W, rendement n=0,9, facteur de puissance 0,8
  1. En appliquant le théorème de Boucherot calculer les puissances active, réactive et apparente de l'installation. Quel est le facteur de puissance de l'installation?
  2. Calculer l'intensité efficace I du courant fourni par EDF, les puissances active et réactive absorbées en ligne. En déduire les puissances active et réactive que doit fournir EDF. Que vaut la tension efficace E au départ de la ligne?
  3. relèvement du facteur de puissance: le facteur de puissance doit être égal à 0,94. Quelles seront alors les puissances active et réactive de l'installation? Quelle est la valeur de la capacité du condensateur mis en parallèle sur l'installation ?
  4. Calculer l'intensité efficace I' du courant fourni par EDF, les puissances active et réactive absorbées en ligne. En déduire les puissances active et réactive que doit fournir EDF. Que vaut la tension efficace E ' au départ de la ligne?
  5. Illustrer cette correction par une construction du triangle des puissances.
corrigé

les lampes ne consomment aucune puissance réactive ,mais de la puissance active PL=1,5 kW

puissance apparente SL=PL=1,5 VA

les 2 moteurs : P1= 6 kW; j =cos-1(0,7)=45,6°; sinj =0,714

puissance apparente S1: 6/0,7 = 8,57 kVA

puissance réactive Q1 : S1 sin j = 6,12 kVAR

les 6 moteurs : P1= 6*4,5 /0,9 = 30 kW; j =cos-1(0,8)=36,9°; sinj =0,6

puissance apparente S2:30/0,8 = 37,5 kVA

puissance réactive Q2 : S2 sin j = 22,5 kVAR

total installation : P = 37,5 kW; Q=28,62 kVAR;

S² = P² + Q² d'où S =47,17 kVA

facteur de puissance de l'installation: cos j = P/S = 37,5 / 47,17 = 0,795

j =cos-1 0,795 = 37,3°

intensité en ligne : I (A) = S (VA) / U(V) = 47 170 / 220 = 214,4 A.

puissances absorbées en ligne :

puissance active RI² = 0,1 *216² = 4,66 kW

puissance réactive Lw I² =0,0314*216²=1,465 kVAR

w  =2*3,14*50 =314 rad /s. Lw = 314*0,1 10-3 =0,314 W.

puissances fournie par EDF :

puissance active : P=37,5 + 4,66= 42,16 kW

puissance réactive : Q=28,62 +1,465 = 30 kVAR

puissance apparente S²= P²+Q² d'où S=51,74 kVA

tension efficace E : 51 740 / 214,4 =241,3 V

relèvement du facteur de puissance :

 la puissance active n'est pas modifiée par le branchement du condensateur P=37,5 kW

j' = cos-1 0,94 = 20° et sin j' = 0,342

puissance apparente : S'=37,5 / 0,94 = 39,9 kVA

puissance réactive : Q'=S' sinj' = 13,65 kVAR

Q'-Q=13,65-28,62 = -14,97 kVAR

capacité du condensateur :

-14 970 = -CwU² soit C=14970/(314*220²) =1 mF.

intensité en ligne : I'=S' / 220 =39900 / 220= 181 A

nouvelles puissances absorbées en ligne :

puissance active RI'² = 0,1 *181² = 3,27 kW

puissance réactive Lw I² =0,0314*181²=1,03 kVAR

nouvelles puissances fournie par EDF :

puissance active : P'=37,5 + 3,27= 40,77 kW

puissance réactive : Q''=13,65 +1,03 = 14,68 kVAR

puissance apparente S²= P²+Q² d'où S=43,33 kVA

tension efficace E ': 43 330 / 181 =239,4 V
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impédance

complexe

puissance

 

 

e(t) source de tension alternative de pulsation w= 1000 rad /s et de valeur efficace 21 V.

  1. Calculer les puissances active et réactive échangées entre la source et le circuit.
  2. En insérant le dipôle d'impédance X on annule la puissance réactive mise en jeu par la source. Déterminer la nature de cet dipôle et sa capacité ou bien son inductance.
  3. Que vaut l'impédance Z du circuit?
  4. Que peut-on dire du courant i(t) fourni par la source?
corrigé

impédances complexes :

-j/(Cw): condensateur; jLw : bobine inductive

impédance complexe du dipôle : Z=22,44 -5,82j

intensité complexe : i = e /Z= e(22,44+5,82j) / (22,44²+5,82²)

i = e(22,44+5,82j) / 537,37

puissance complexe p= ½ e i*= ½ e²(22,44+5,82j) / 537,37

p = 0,5 (21*1,414)²/537,37 (22,44+5,82j)

p = 18,41 + 4,77 j

puissance active : P=18,41 W

puissance réactive : Q= 4,77 VAR

ajout du dipôle d'impédance X:

la puissance réactive de l'ensemble est nulle : la puissance réactive du nouveau dipôle est : -4,77 VAR

il 'agit donc d'un condensateur; l'ajout de ce dernier ne modifie pas la puissance active.

La puissance réactive étant nulle, le facteur de puissance vaut 1; tension et intensité en phase.

l'intensité efficace délivrée par la source vaut : 18,41 /21 =0,876 A

capacité du condensateur :

le nouveau dipôle est en série avec les impédances précédentes, l'intensité est identique à travers les diôples en série.

-4,77 = -I²/ (Cw) d'où C= 1,6 10-4 F.

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