complexes , puissance, Thévenin, Boucherot

Aurélie mars 2001

nombres compexes en électricité

complexes , puissance, Thévenin, Fresnel

modèle de Thevenin

puissances

On considère le montage suivant : V=10 V; R₁=5W; 1/(Cw)=2W; R₂=3W; Lw=5W; f=1 kHz.

Déterminer les éléments du modèle équivalent de Thévenin du dipôle AB.
On branche entre A et B un dipôle d'impédance complexe Z=R₃+jX₃. La puissance active reçue par ce dipôle doit être maximale. Déterminer R₃ et X₃. Préciser la nature de ce dipôle.
Bilan de puissances : après avoir déterminé l'intensité, la tension U_AB, calculer les puissances active, réactive, apparente reçue par la charge Z. application numérique R₃= 1 W puis 3W.
Tracer le diagramme de Fresnel représentant v, i et u_AB.

corrigé

toutes les grandeurs, intensité, tension et impédances sont complexes

on peut leurs appliquer les lois du courant continu

modèle de Thévenin : calcul de Z_th

supprimer la source de tension

impédance de la brance {R₁ C} : Z₁= R₁-j /(Cw) = 5-2j

Z₁ en dérivation avec R₂ : impédance de l'ensemble Z₂= R₂Z₁/(R₂+Z₁)=3(5-2j) / (5-2j+3)

Z₂= (132-18j) /68 =1,941-0,265j

Z₂ en série avec L : impédance Z_th : Z₂+jLw= 3(5-2j) / (8-2j) +5j

Z_th =1,941+4,735j.

soit Z²_th = (1,941²+4,753²) et Z_th =5,11 W.

j₁ = tan^-1(4,753 / 1,941)= 67,8°.

calcul de E_Th = U_AB (circuit ouvert) = U_DB.

pas de courant dans L en circuit ouvert.

U_DB=R₂i =V-Z₁ i d'où i = V/(Z₁+R₂) 10/(8-2j)= 5/17(4+j)=1,176+0,294j.

E_th = R₂i = R₂V /(Z₁+R₂)=3*(1,176+0,294j)

E_th = 3,53 + 0,882j.

soit E²_th = (3,53²+0,882²) et E_th =3,64 W.

j₂ = tan^-1(0,882 / 3,53)= 14°.

puissance active absorbée par Z :

la puissance absorbée par Z est maximale lorqu'il y a adaptation d'impédance

impédance Z = conjugué de l'impédance de la source

R₃= 1,941 W et jX₃ = -4,735j.

il s'agit d'un condensateur de capacité C associé à une résistance :

w=2*3,14*100=6280 rad/s

1(Cw)=4,735 d'où C = 33,6 mF.

intensité, tension aux bornes de la charge Z, puissances:

les impédances Z et Z_th sont en série aux bornes de la source de f.e.m complexe E_th.

Z et Z_th = (1,941+ R₃) + j (4,735 + X₃) = 1,941+ R₃.

intensité dans Z : i = E_th / (Z+Z_th)= E_th / (1,941+ R₃) (1)

tension aux bornes de Z : u = Z i = Z E_th / (Z+Z_th)= Z E_th / (1,941+ R₃) (2)

u =(R₃-4,735j)(3,53+0,882j) / (1,941+ R₃)

puissance complexe dans Z : ½ u i*

puissance active = partie réelle de la puissance complexe

puissance réactive = partie imaginaire de la puissance complexe

application numérique : R₃=1W.

i = E_th / 2,941 = 1,2 +0,3j

j₃= tan^-1(0,3 / 1,2)= 14° .

I² = 0,3²+1,2² d'où I = 1,24 A

u = 2,62 -5,38j

j₄= tan^-1(-5,28 / 2,62)= -63,6° .

U² = 2,62²+5,28² d'où U = 5,9 V

puissance complexe : 0,5(2,62 -5,38j)(1,2 +0,3j)

p = 2,36 -2,83j

puissance active consommée : P = 2,36W

puissance réactive stockée puis restituée : Q= - 2,83 VAR

puissance apparente: S²=P²+Q² d'où S = 3,68 VA

V origine des phases

(1) donne arg i = arg E_th= 14°

Z = 1-4,735j donc arg Z= tan^-1(-4,735 / 1 ) = -78°

(2) donne arg u = arg E_th+ arg Z =14-78 = -64°.

impédance

puissance

Fresnel

On considère le montage suivant : Ueff = 220 V; R₁=1W; 1/(Cw)=3W; R₂=3W; L₁w=1W; L₂w=3W

Exprimer l'impédance complexe de chaque branche, l'impédance complexe du circuit et calculer les éléments de l'impédance réelle.
Calculer les puissances active et réactive absorbées par ce montage.
Donner les expressions complexes des courants traversant chaque branche et de la tension u₁.
Représenter les vecteurs de Fresnel associés à u, i, i₁, i₂, u₁. On prend u comme origine.
En déduire le vecteur de Fresnel associé à u₂, puis l'expression temporelle de u₂.

corrigé

toutes les grandeurs sont complexes : impédances

branche {L₁ R₁}: R₁+jL₁w = 1+j

branche {R₂ C} : R₂-j/(Cw)=3-3j

branche {L₂ }: jL₂w = 3j

branche {R₂ C} et branche {L₂ }en dérivation :

dipole équivalent aux deux branches en dérivation , impédance Z₁

Z₁ = 3j(3-3j) / (3j+3-3j) = j(3-3j) = 3+3j =3(1+j)

Z₁ en série avec branche {L₁ R₁}: d'où Z ensemble = 1+j +j(3-3j) = 4+4j

remarque : les impédances Z₁ et Z en série ont le même argument.

impédance réelle : R=4W et dipole inductif Lw= 4W.

module de Z : rac carrée(4²+4²)= 5,65 W.

u =Z i ou arg u = arg Z+ arg i

si argu = 0, origine des phases alors arg Z= -arg i

arg Z= 4/4 = 1 d'où j = tan^-1(1) = 45°

intensité fournie par l'alimentation en retard 45 ° sur la tension.

puissances :

I _eff = 220 / 5,65 d'où I_eff = 38,9 A

puissance active : P = U_eff I_eff cos 45 = 220 *38,9*0,707 = 6 kW

puissance réactive : Q = U_eff I_eff sin 45 = 6 kVAR

autre méthode, à partir de la puissance complexe p =½ui*

i = u / Z = u / (4+4j) = u(4-4j) / 32 = u / 8 (1-j) = 220*1,414/8 (1-j) = 38,9 (1-j)

puissance complexe : 0,5 *220*,1414*38,9(1+j) = 6050(1+j)

puissance active = partie réelle de p : 6 kW

puissance réactive = partie imaginaire de p : 6 kVAR

intensité complexe dans chaque branche :

branche {L₁ R₁}: intensité fournie par l'alimentation

i = u / Z = u / (4+4j) = u(4-4j) / 32 = u / 8 (1-j) = 220*1,414/8 (1-j) = 38,9 (1-j)

branche {R₂ C} : impédance 3-3j

intensité complexe i₁ : u₂ = (3-3j) i₁ .

branche {L₂ }: impédance 3j

intensité complexe i₂ : u₂ = 3j i₂ .

d'où une relation entre i₁ et i₂ : j i₂ =(1-j) i₁ soit i₂ = -(1+j) i₁.

loi des noeuds : i = i₁+ i₂ = i₁-(1+j) i₁= -j i₁soit i₁ = j i et i₂ =(1-j)i.

tension complexe u₁ :

u₁= (1+j) i = (1+j) *27,5 *(1-j) = 27,5 (1-j²) =55.

u₂(t) = (220-55)*1,414 cos(wt)

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