Aurélie oct 2000

application du théorème de Gauss


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1

champ d'une couche sphérique mince uniformément électrisé

  1. Soit une sphère de rayon R portant une densité surfacique de charge s constante. Calculer le champ électrostatique crée en tout point.
 


corrigé

Soit un point M situé à l'intérieur de la sphère, à une distance OM=x du centre.

Par raison de symétrie le champ est radial.

On considère une sphère S , de centre O et de rayon x.

D'après le théorème de Gauss, le flux du vecteur champ électrique à travers la surface S est nul car il n'y a pas de charge à l'intérieur de S.

si x < R, le champ électrique est nul à l'intérieur de la sphère.


Soit un point M situé à une distance x > R

F = E 4p

D'autre part la charge contenue à l'intérieure de S est la charge totale de la sphère de rayon R : Q = s 4pR².

d'où E = s R² / (e0x²)

On retrouve la discontinuité de la composante normale du champ (s / e0) à la traversée d'une surface chargée.


2

champ crée par une ligne uniformément chargée

quelle est l'expression du champ crée par cette ligne ?


corrigé

On prend comme surface S un cylindre de hauteur h , d'axe la ligne infinie, et de rayon r.

En tout point de la surface latérale le champ est radial et a même module, par raison de symétrie.

Le fux du champ à travers la surface latérale est : F= E 2p r h

Le flux du champ est nul à travers les bases S1 et S2, le champ étant perpendiculaire à la normale aux surfaces.


D'autre part la charge contenue dans S est : Q = l h

l charge par unité de longueur.


en appliquant le th de Gauss :


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surfaces équipotentielles