On a observé dans l'orbite de Jupiter deux amas de petites planètes, surnommées les Grecs et les Troyens..

Soit un système isolé de 2 corps ponctuels identiques, de masse M en interaction gravitationnelle. Ces deux corps ayant initialement ( dans un référentiel lié à O) les vecteurs vitesses représentés sur la figure. On constate que leur mouvement ultérieur sont circulaires uniformes, à la vitesse angulaire W₀.

 

1. Montrer que la vitesse angulaire est W₀=(GM / (4R³) ^½.
2. On considère maintenant un troisième corps de masse m << M formant avec les deux autres un triangle équilatéral.

   Faire le bilan des forces agissant sur le corps C dans le référentiel galiléen lié à O. Montrer que ce corps peut être animé d'un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire W₀. Le triangle ABC ne se déforme pas au cours de la rotation de ces corps. Trouver sur la figure précédente un autre point pouvant jouir des mêmes propriétés. Pourquoi faut-il supposé m<<M.

3. Les deux corps placés en A et B ont des masses différentes vérifiant M₁>>m et M₂>>m. On admet que les résultats concernant le triangle équilatéral restent valables. La masse de Jupiter M₁ est le millième de la masse du soleil M₂. La distance Jupiter Soleil est pratiquement constante (mouvement circulaire uniforme).
   En tenant compte uniquement des effets de gravitation de ces deux astres sur les astéroïdes, représenter sur une figure les deux amas, Jupiter et le Soleil, et la trajectoire de ces corps dans le référentiel lié au centre d'inertie de l'ensemble.