On considère un générateur basse-fréquence qui délivre une tension de forme "créneau", dont l'am-plitude E et la fréquence f sont constantes, mais réglables par l'expérimentateur. On réalise deux séries d'expériences au cours desquelles ce générateur alimente successivement les deux circuits suivants :

 

Le circuit n°1 comporte un condensateur de capacité C en série avec une résistance R ; le circuit n°2, une bobine de résistance r et d'inductance L en série avec une résistance r₁ .

On observe, à l'aide d'un oscilloscope, les tensions u₁(t), aux bornes du condensateur, et u₂(t), aux bornes de la résistance r₁. La période T de la tension délivrée par le générateur est choisie assez grande de façon qu'à la fin de chaque demi-période, ces deux tensions soient pratiquement constan-tes. La vitesse de balayage est choisie de façon à pouvoir observer au moins une période. Soit T₁, la valeur de T choisie pour le circuit n°1 et T₂ , celle choisie pour le n°2.

L'oscilloscope utilisé est relié à un ordinateur muni d'une carte d'acquisition de données. On dispose alors dans des tableaux numériques des valeurs des tensions acquises à intervalles de temps régu-liers. Les courbes ci-dessous donnent, pour une durée égale à T, les oscillogrammes relatifs aux deux circuits.

Données théoriques :

- Cas du circuit RC

On définit une constante de temps : t₁ = RC . L'expression de la tension aux bornes du condensateur est différente suivant la phase considérée.

Pendant la première demi-période , phase AB, on a la forme : u₁ (t) =U(1-exp(-t/t₁)) (1)

Pendant la deuxième demi-période , phase CD, on la forme : u₂(t) = U(exp(-t/t₁) (2)

une nouvelle origine des temps a été prise : t' = 0 pour t = T₁ /2.

- Cas du circuit RL

Soit Ro = r + r₁, la résistance totale du circuit ; on définit une constante de temps : t₂ = L/Ro. L'ex-pression de la tension aux bornes de la résistance r₁ est différente suivant la phase considérée.

Pendant la première demi-période , phase A'B', on a la forme : u'₁(t) =U₁(1-exp(-t/t₂)) (3)

Pendant la deuxième demi-période , phase C'D', on a la forme : u'₂(t) = U₁exp(-t/t₂) (4)

avec la même remarque qu'en (2) pour la nouvelle origine des temps.

1. Détermination rapide de t à partir des graphiques:

On dit très souvent qu'un condensateur chargé sous une tension constante a atteint 95 % de sa ten-sion maximum "au bout d'un temps égal à 3t".

• En admettant cette affirmation, donner un ordre de grandeur de t₁ .
• Peut-on utiliser cette méthode pour déterminer t₂ ? Sinon, expliquer pourquoi, si oui, donner un ordre de grandeur de t₂.

2. Vérification des relations théoriques

Le système d'acquisition de l'ordinateur permet d'obtenir les tableaux de valeurs correspondant à deux expériences relatives à chacun des circuits. Des extraits de ces tableaux concernant les phases CD et C'D' sont donnés ci dessous.

	phase CD	condensateur	phase C'D'	bobine
n°	dt	u1(volt)	dt	u2(volt)
1	300 (ms) entre chaque mesure	4,45	90(ms) entre chaque mesure	5,2
2		3,99		3,54
3		3,56		2,43
4		3,18		1,68
5		2,84		1,15
6		2,54		0,8
7		2,26		0,55
8		2,02		0,38
9		1,80		0,26
10		1,61		0,18

• Pour vérifier les relations théoriques (2) et (4), on décide de tracer des courbes. Sachant que la seule courbe qu'on sache "reconnaître" avec précision est une droite, choisir parmi les propositions suivantes celle dont il faut tracer le graphe pour vérifier les relations précédentes :

u(t) = f(t); u(t) = f[ln(t)] ; ln[u(t)] = f(t)

Justifier brièvement le choix qui a été fait.

[Remarque : u et t représentent les valeurs numériques de la tension u et du temps t dans les mesures proposées ; ils sont donc sans dimensions].

• Tracer uniquement la courbe correspondant à la relation (2).
• Donner son équation mise sous la forme : y = a x + b. Bien préciser ce que représentent y et x et donner les valeurs des coefficients a et b, en précisant les unités employées pour les calculs.
• Montrer que cette courbe permet d'affirmer qu'avec la précision du graphique ainsi tracé, la relation (2) est bien vérifiée. En déduire une valeur plus précise de la constante de temps t₁ .
• Sans tracer la courbe, en admettant que le graphe correspondant aurait bien été une droite, dé-terminer, par un calcul analogue, une valeur plus précise de la constante de temps t₂ .

3. Détermination plus précise des constantes de temps

Le logiciel de calcul de l'ordinateur donne également une vérification excellente des relations (1) à (4). En particulier, il propose, compte tenu des points qui ont été acquis, les modèles mathématiques suivant :

- phase AB, pour la tension u₁(t), le modèle U_mod

u_{1 mod}=K₁(1-exp at) avec K₁= 4,193 et a = -373,4 si U_mod est exprimée en volts et t en secondes.

- phase A'B', pour la tension u₂(t), le modèle V_mod

• Donner les unités des coefficients K₁ , K₂ , a et b.
• A l'aide de ces données, déterminer deux valeurs plus précises de t₁ et t₂.
• Le laboratoire est équipé d'un pont de mesure précis des résistances (le constructeur garantit au moins trois chiffres significatifs). On trouve alors : R = 58,2. 10³ W et Ro = 209 W. Déduire de ces mesures et des données fournies par l'ordinateur les valeurs de C et L.