On appelle pendule simple un système constitué d'un objet dense, de masse m, suspendu à un fil inextensible, de longueur l et de masse négligeable devant m, accroché à une extrémité fixe ; la taille de l'objet est négligeable devant l. On se propose dans cet exercice d’étudier différents aspects de ce modèle physique.

Aperçu historique: Extrait de « Discours et démonstrations » de Galilée (1564-1642).

Il s’agit d’une discussion entre Salviati (Galilée ) et Sagrédo (l'un de ses élèves). Salviati : Pour obtenir un premier pendule dont la durée d'oscillation soit le double de celui d'un second pendule, il convient de donner au premier une longueur quadruple de celle du second. Sagrédo: Si j'ai bien compris, je pourrais donc aisément connaître la longueur d'une corde, quand bien même son point de suspension serait invisible et que l'on apercevrait seulement son extrémité inférieure. Si en effet j'attache en cette partie de la corde, une « masse » fort lourde, à laquelle je communique un mouvement de va et vient, et si un ami compte le nombre de ses oscillations pendant que moi-même je compte les oscillations effectuées par un autre pendule suspendu à un fil mesurant exactement une coudée, alors grâce au nombre des oscillations de ces deux pendules pendant une même durée, je trouverai la longueur de la corde ; supposons par exemple que mon ami ait compté vingt oscillations de la grande corde, dans la même durée où j'en comptais deux cent quarante pour mon fil long d'une coudée ..

1. L’affirmation de Salviati.On considère qu’une oscillation correspond à un mouvement d’aller et de retour - menu du pendule. Quelle grandeur physique est désignée par l’expression « la durée d’une oscillation » ? Montrer qu’une seule des propositions suivantes satisfait à l’affirmation de Salviati : "La durée d’oscillation est proportionnelle"
   * à l'inverse de 1a longueur .
   * au carré dela longueur.
   * à la racine carrée de la longueur.
2. La réponse de Sagrédo : on note respectivement l₁ et T₁ la longueur et la durée d'une oscillation du pendule de Sagrédo, l₂ et T₂ la longueur et la durée d'une oscillation du pendule de l'ami de Sagrédo. On admet qu'une coudée équivaut à 50 cm : l₁ = 50 cm.. En utilisant la réponse de Sagrédo, déterminer la valeur numérique du rapport T₂ /T₁. Calculer la longueur l₂ .

Étude expérimentale.

1. On se propose maintenant d’étudier expérimentalement l’influence de différents paramètres sur la durée d’une oscillation d’un pendule simple. Pour cela, on utilise un fil inextensible de longueur l et de masse considérée comme nulle. Les objets denses de masse m, suspendus au fil, sont suffisamment petits pour que leur taille soit négligeable devant l. Le pendule ainsi constitué est écarté de sa position d’équilibre d’un angle q ₀ petit (inférieur à 10°) puis lâché sans vitesse initiale. On obtient alors des oscillations libres amorties dont la durée d'une oscillation ou pseudo-période est notée T. On mesure à l’aide d’un chronomètre la durée t nécessaire au pendule pour réaliser 20 oscillations.

Influence de la masse.

On réalise une série de mesures de .t avec un fil de longueur l = 24,4 cm et différents objets de

masse m. On obtient les mesures suivantes :

masse (g)	60	125	160	200
temps(s)	19,9	19,8	19,9	19,9

Que peut-on en déduire quant à l’influence de la masse sur la pseudo-période du pendule ?

Influence de la longueur.

On suspend maintenant un objet de masse m = 125 g et on fait varier la longueur du fil. On obtient

les mesures suivantes :

longueur (cm)	12,3	24,4	28,6	32,4	38,5
temps(s)	14,1	19,8	21,4	22,8	24,9

Quel est le graphique le plus simple à exploiter ?

La relation littérale entre T et l peut alors s’écrire T = k l^a. Donner les valeurs de a et k.

On ne peut pas modifier la valeur g du champ de pesanteur. Toutefois, grâce à un pendule oscillant sans frottement sur un plan incliné d'un angle a sur l'horizontale tout se passe comme si le pendule était vertical et placé dans un champ de pesanteur de valeur g’ tel que :

Description du dispositif : sur une table inclinée d'un angle a par rapport à l'horizontale, un petit mobile autoporteur de masse m = 125 g est suspendu à un point fixe, par un fil de longueur l = 24,4 cm.

Pour différentes valeurs de a (on modifie alors la valeur de g’), on mesure la durée t de oscillations de faible amplitude. On obtient les mesures suivantes :

a en degré	90	70	50	30	20	10
t en seconde	19,9	20,6	22,6	28,2	33,9	46,5
g' -0,5	0,32	0,33	0,36	0,45	0,55	0,77

1. Tracer, sur papier millimétré, la courbe représentative des variations de T en fonction de g' ^-0,5
2. Donner, sous forme littérale, l'équation de cette courbe. Conclusion.
3. La pseudo-période peut se mettre sous la forme : T =C racine carrée de (L/g) où C est une constante. Montrer que C est une grandeur sans dimension. Déterminer la valeur de C à partir de la valeur de k obtenue ci dessus.