Aurélie novembre 2000


devoirs en terminale S

mouvement circulaire, tension d'un câble

 

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1

mouvement circulaire

 

Une demi-sphère creuse, d'épaisseur négligeable, de centre O et de rayon R repose par son sommet S sur un plan horizontal. Elle est maintenue fixe dans cette position. Un petit solide de masse m assimilable à un point matériel peut glisser sans frottement sur la face interne de la demi-sphère. On désigne par M sa position reperée par l'angle q. On communique à ce solide, à partir d'une position initiale M une vitesse V tangente horizontalement à la demi-sphère de module V tel qu'il décrive, d'un mouvement uniforme un cercle horizontal passant par ce point M, sur la face interne de la demi-sphère.

 

  1. Etablir l'expression du module V de la vitesse du solide en fonction de g, R et q.
  2. Calculer V pour la position de M telle que OA = R/2.
  3. En déduire la vitesse angulaire w du solide.
Données: R=80cm, m=10g, g=10m.s-2


corrigé


La norme de la vitesse étant constante, la somme des vecteurs forces est dirigée vers A centre du cercle horizontal.

accélération centripète a = v²/AM

AM = R sinq.

tan q = a / g-->a = g tan q

d'où v²= g R tan q sinq = g R sin²q / cos q


si q = 60°, v²= 12 et v=3,46 ms-1.


vitesse angulaire (rad s-1)= vitesse (ms-1 ) divisée par AM(m)

3,46 /(0,8 sin 60)= 5 rad s-1.

 



2

bilan énergétique

Je lache un bloc de masse 2500 kg depuis le haut d'une falaise mesurant 15m de haut. Le bloc est accroché au haut de la falaise par l'intermediaire d'un câble ayant les caractéristiques suivantes (diamètre=16 mm longueur= 5m et E= 11000daN/mm2).

  1. Lorsque le bloc a chuté de 5m , le cable est en bout de course et se tend. Quelle va être l'effort maximal dans le cable. On néglige bien sur les frottements et on suppose que toute l'energie du bloc est reprise par le câble.
  2. Maintenant on réalise le même essai mais on intègre au cable un systeme qui se déclenche dès que la tension dans le câble atteint 7500daN. Ce système a une course de fonctionnement de 5m. Si le système fonctionne le bloc est arrêté au bout de 10 m de chute (5m de chute libre jusqu'a la tension du câble et 5 m de fonctionnement du systeme). Quelle énergie absorbe le système pour arrêter le bloc au bout d'une telle distance.

corrigé


 

altitude zéro : +5 m par rapport au pied de la falaise

en haut : énergie potentielle de pesanteur mgh=2500*9,8*10 =245 kJ

altitude 5 m cable non tendu : énergie potentielle de pesanteur + énergie cinétique = 245 kJ

245 kJ doivent être absorbés par le câble sous forme d'énergie potentielle élastique.

pour un allongement de 5 m : 245 000 = 0,5 *raideur *5² -->raideur =19600 N/ m

tension maxi du câble : 19600*5=98 000 N ou 9800 daN




La tension maxi du cable est de 75 000 N --> allongement =75 000 / 19600 =3,82 m

énergie potentielle élastique : 0,5* 19600*3,82² = 143 kJ

énergie absorbée par le système : 245-143 =102 kJ



3

cinématique

accélération

th du centre d'inertie

On relève les positions du centre d'inertie du solide B situé sur le plan.

  1. Déterminer les vitesses aux points A2, A3, A4, A5, A6.
  2. Représenter la vitesse en fonction du temps et en déduire l'accélération du centre d'inertie de B.
  3. Le solide est parti d'un point A0, sans vitesse. Quelle est la durée du trajet A0A1 ?
  4. Quelle hypothèse permet d'affirmer que le solide A a même accélération que le solide B ?
  5. Déterminer la tension du fil puis la masse de A.

mB=153 g ; L1=36 cm; L2=4 cm ; L=3,5 m.


corrigé


vitesse en A2: (A1A2+A2A3) / 0,12 =0,308 ms-1.

vitesse en A3:0,466 ms-1.

vitesse en A4:0,625 ms-1.

vitesse en A5:0,775 ms-1.

vitesse en A6:0,933 ms-1.

la vitesse augmente de 0,16 ms-1 toutes les 0,06 s --> a= 2,66 ms-2.

D'après le graphe, la vitesse en A1 est voisine de 0,1 m/s.

Or v=2,66 t d'où la durée du parcours A0A1 voisine de 0,037 s

La poulie ayant une masse négligeable A et B ont la même accélération.


th. du centre d'inertie appliqué à B, projection sur un axe parallèle au plan dirigé vers le haut.

-mB g sin a + T= mB a

avec sin a =(0,36-0,04) / 3,5 = 0,091

T=mB (a+g sin a )

T=0,153(2,66+9,8*0,091)= 0,544 N

th. du centre d'inertie appliqué à A, projection sur un axe vertical dirigé vers le haut.

-mA g + T= mA a

mA = T /(a+g)=0,544 /(2,66+9,8) = 44 g






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