Aurélie déc 2000

d'après concours kiné E.F.O.M 2000

 


1

oscillateur mécanique

Deux ressorts R1 et R2 de constante de raideur K1 et K2 sont reliés entre eux par un crochet B, de masse négligeable. La masse m peut glisser sans frottement sur une tige horizontale.

  1. On note x1 et x2 les élongations respectives à un instant t des 2 ressorts. Chaque élongation est comptée à partir de la position à vide du ressort correspondant. En appliquant le théorème du centre d'inertie au crochet B, établir la relation entre x1 et x2.
  2. Exprimer x1 en fonction de k1, k2 et de l'élongation totale x des 2 ressorts (avec x = x1+x2) .De même exprimer x2 en fonction de k1, k2 et x.
  3. Exprimer la somme des énergies potentielles élastiques des 2 ressorts en fonction de k1, k2 et x.
  4. En utilisant la relation traduisant la conservation de l'énergie mécanique de ce système, établir l'équation différentielle de cet oscillateur (R1, R2 ,m). Exprimer sa pulsation propre w0 en fonction de k1, k2 ,m.

 


corrigé

principe des actions mutuelles en B

x = x1+x2 et x2 = k1 x1 / k2d'où : x1= x-k1 x1 / k2

x1 = k2 x / (k1+k2) de même x2 = k1 x / (k1+k2)


énegie potentielle élastique d'un ressort : 0,5 k x².

0,5 k1 x1² + 0,5 k2 x2².

remplacer x1 et x2 par les expressions ci dessus.

mettre k1k2 / (k1+k2)² en facteur commun.

Ep =0,5 k1k2 / (k1+k2) x²


énergie mécanique = énergie cinétique + énergie potentielle.

écrire la conservation de l'énergie mécanique du système constitué par les 2 ressorts et la masse m.

Em = 0,5 mv²+ 0,5 k1k2 / (k1+k2) x² = constante

dériver par rapport au temps ( u²)' = 2uu'

0,5 m *(2v'v) +0,5 k1k2 / (k1+k2) *(2xx') = 0

remarquer que x' =v et x"=v'

m x" x' + k1k2 / (k1+k2) x x' =0

diviser par x' chaque therme :

mx" + k1k2 / (k1+k2) x =0

cette expression liant la dérivée seconde x" et la fonction x est l'équation différentielle cherchée.


2

déviation des électrons

 

On négligera le poids des électrons devant les autres forces. Une source S, dont le potentiel électrique VS est nul, émet des électrons avec une vitesse pratiquement nulle. Ces électrons arrivent sur une grille G1 au potentiel V1.

  1. Exprimer la vitesse v1 d'un électron passant par un trou de G1, en fonction de la masse de l'électron m ,de V1 et de la charge élémentaire e. Que se passerait-il si V1 était négatif ?
  2. Au delà de G1 à la distance d, est disposée une seconde grille G2, parallèle à G1, de potentiel V2. Déterminer les expressions en fonction du temps des coordonnées du vecteur vitesse d'un électron allant de O1 à O2.
  3. Un électron passe par un trou de G2 à la vitesse v2. Exprimer v2 en fonction de e, m, et V2. Déterminer sin i2 en fonction de v1, i1, et v2. Que se passerait-il si V2 était négatif ?
  4. Etablir la relation entre i1, i2, V1 et V2.

corrigé

 

écrire le théorème de l'énergie cinétique entre la source et le point O1.

la vitesse initiale est nulle. Le potentiel de la source S est nulle.

l'électron placé dans un champ électrique est soumis à une force électrique .

Le travail de cette force est : -e( VS -V1).

0,5 mv1² -0 = eV1.

v1²=2eV1/ m.

Si V1 était négatif, le travail de la force électrique serait résistant et les électrons n'atteindraient jamais la grille G1.


entre G1 et G2 seule la force électrique intervient.

Seule la composante de la vitesse, dans la direction de la force, varie.

L'ordonnée du vecteur vitesse reste donc constante.

soit v1 sin i1 = v2 sin i2.(1)

écrire le théorème de l'énergie cinétique entre G1 et G2.

la force électrique effectue le travail : -e(V1-V2)

si ( V1-V2) est négatif, les électrons sont déviés et accélérés entre les 2 grilles.

si ( V1-V2) est positif, les électrons sont déviés et freiné entre les 2 grilles : il se peut que la seconde grille ne soit pas atteinte.

0,5 mv2² -0,5 mv1² = -e(V1-V2)

avec 0,5 mv1² = eV1.

0,5 mv2² -eV1= -eV1+eV2.

v2² =2eV2 / m.

remplacer les vitesses par leurs expressions en fonction des potentiels électriques dans (1).


3

charge oscillante

Un générateur de tension continue maintient entre ces bornes une tension UPN constante, égale à sa f.é.m E=12V. Le condensateur DB de capacité C=10mF est initialement déchargé. La bobine a une auto-inductance L=0,1 H , sa résistance est R.

  1. On néglige la résistance R de la bobine. On abaisse l'interrupteur K à la date t=0. établir l'équation différentielle reliant la charge algébrique q=qB du condensateur à L, C, et E.
  2. On se propose de déterminer la fonction q(t) en faisant un changement de variable. Dans l'équation différentielle précédente faire le changement de variable Q= q - EC. Déterminer alors la fonction Q(t).
  3. A la date t=0 on a : q0=0 et i0=0 . En déduire la fonction q(t) et la représenter graphiquement.
  4. En fait la bobine a une résistance R, assez faible, qui amortit les oscillations. Dessiner l'allure de la courbe représentant q(t). Déterminer la limite vers laquelle tend :
  • La charge du condensateur
  • L'intensité du courant i
  • L'énergie de l'oscillateur RLC

corrigé

écrire que la tension au borne du générateur est égale à la somme des tensions aux bornes du condensateur et de la bobine .

remarquer que : i=q' ; di/dt=i' = q"

q / C + L q''+Rq' = E

si R est négligé le therme Rq' disparaît.

diviser tous les thermes par l'inductance L :

q" +1/ (LC) q =E / L ( éq. différentielle).


Q=q-EC ; Q"=q"

Q" + 1/(LC) Q + E/L = E/L soit Q" + 1/(LC) Q =0

Q(t) = A cos(wt+j)

soit q(t) =A cos(wt+j) +EC

pulsation w= racine carrée (1 /(LC))= rac carrée (1/(0,1* 10-5))=103 rad s-1.

A et j sont des constantes déterminées d'après les conditions initiales.

à t=0 intensité nulle : dériver q par rapport au temps

i = q' = 0 = -1000A sin(wt+j) = -1000A sinj. --> j=pou j=0

à t=0 charge nulle d'où : 0 = A cosp+EC soit A=EC

q(t) =EC( 1+cos(wt+p)) ou q(t) =EC( 1-cos(wt)).

La bobine s'oppose ( introduit un retard ) à la charge du condensateur.

Au bout d'un temps assez long la charge du condensateur tend vers la valeur CE =1,2 10-4 C.

Lorsque le condensateur est chargé, la tension à ses bornes est égale à E. L'intensité du courant est alors nulle.

La tension aux bornes de la bobine est nulle. L'énergie est stockée par le condensateur.

0,5 Q² / C =0,5 CE² = 0,5 10-5 * 12² = 7,2 10-4 J

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