où a₀, a_n, b_n sont des nombres réels appelés coefficients de Fourier réels de f(x).

ces coefficients s'obtiennent de la manière suivante :

la fonction est symétrique par rapport à l'axe vertical ; f(x) est paire donc b_n = 0

calcul de a₀ :

calcul de a_n :

intégration par partie en posant u' = e^t+e^-t ; primitive u = e^t-e^-t ;

v = cos(nt) ; dériver v' = -n sin(nt) .

calcul de I :

intégration par partie en posant u' = e^t-e^-t ; primitive u = e^t+e^-t ;

v = sin(nt) ; dériver v' = n cos(nt) .

J est le résultat du premier calcul d'où :

J = 2(e^p -e^-p) cos(np) -n² J

par suite J = 2(e^p -e^-p) cos(np) / (1+n²)

et en multipliant J par 1/ (4p) on trouve a_n.

a_n = (e^p -e^-p) cos(np) / ((1+n²)2p).

a₁ = -(e^p -e^-p) / (4p) ; a₂ = (e^p -e^-p) / (10p) ; a₃ = -(e^p -e^-p) / (20p) ;

f(t) = (e^p -e^-p) / (4p) [ 0,5- cos( t) + 1 / 2,5 cos(2t) - 1 / 5 cos(3t) + ......

la fonction est symétrique par rapport à lorigine ; f(t) = - f(-t) est impaire donc a_n = 0

calcul de a₀ :

calcul de b_n :

intégration par partie en posant u = ht /a ; dériver u' = h/ a ;

v' = cos(2pnt / a) ; primitive v = a / 2pn (cos(2pnt / a) .

d'où :

quelques valeurs : b₁ = h/p ; b₂ = -h/(2p) ; b₃ = h/(3p)

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