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fonction u(t) = p t-t² sur [0 ; p] |
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où a0, an, bn sont des nombres réels appelés coefficients de Fourier réels de f(x). ces coefficients s'obtiennent de la manière suivante :
si la fonction f(x) est impaire f(x) = - f(-x) ; le développement ne comporte que des termes en sinus.an=0 l'ensemble des valeurs a0, an, bn forme le spectre réel de f(x) ; le terme constant ½a0 représente la valeur moyenne de f(x) le premier terme sinusoïdal s'appelle le fondamental ou harmonique 1.
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la fonction est symétrique par rapport à l'axe vertical ; f(x) est paire donc bn =0 calcul de a0 : calcul de an :
an = 2 sin (½np) / (np). soit a1 = 2/ p ; a2 = 0 ; a3 = -2 / (3p) ;a4 = 0 ; a5 = 2/ (5p) f(x) = 0,5 + 2 / p cos(2p x/a) - 2 / (3p) cos(2p 3x/a) + 2 / (5p) cos(2p 5x/a) + ......
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la fonction est symétrique par rapport à l'axe vertical t = ½p ; f(t) est paire donc bn =0 calcul de an :
intégration par partie en posant u = p t -t² ; dériver u' = p-2t ; v' = cos(2nt) ; primitive v = 1/(2n) sin(2nt) . calcul de I :
intégration par partie en posant u = p -2t ; dériver u' = -2 ; v' = sin(2nt) ; primitive v = -1/(2n) cos(2nt) . par suite J =-2 / p * p / (2n²) = - 1/ n². an = - 1/ n². calcul de an :
la fonction u(t) s'écrit alors :
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