Aurélie oct 2001
filtre passe bande

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On considère un quadripôle alimenté par une tension alternative sinusoïdale dont on peut faire varier la fréauence.

  1. Déterminer la fonction de transfert H(jw).
  2. Exprimer le gain et la phase en fonction de x et Q.
  3. Construire le diagramme de Bode dans le cas où Q =2 et q=0,5
  4. Déterminer les fréquences de coupures en fonction de Q et exprimer la plage de fréquences sélectionnées. Quel est la nature du filtre ?

corrigé

toutes les grandeurs soulignées sont des nombres complexes.

A ces grandeurs on peut appliquer les lois du courant continu

Le pont diviseur de tension conduit à :

H(jw) = s / e

expression du gain G(w): norme de la fonction de transfert

phase j(w) : argument de la fonction de transfert

tan  j = - R / (Lw-1/(Cw)) = - Q (x-1/x)

j = -tan-1 (Q (x-1/x))

diagramme de Bode en gain :

il s'agit de la représentation graphique de la fonction :

g = 20 log G(x) = -10 log [ 1+Q²(x-1/x)²], g exprimé en décibel (dB)

recherche des asymptotes :

lorsque x tend vers 0+, g tend vers moins l'infini

1 est négligeable devant Q²/ x²

g équivalent à : -20 logQ + 20 log x équation de l'asymptote.(pente 20 dB par décade)

lorsque x tend vers l'infini, g tend vers moins l'infini :

1 est négligeable devant Q²x²

g équivalent à : -20 logQ - 20 log x équation de l'asymptote.(pente -20 dB par décade)

 

diagramme de Bode de la phase :

j = -tan-1 ( Q [x- 1/x] )

recherche des asymptotes :

lorsque x tend vers 0+, j tend vers +½p-;

lorsque x tend vers l'infini, j tend vers -½p+

valeur particulière j(1) = 0 .

fréquences de coupure à -3 dB:

les fréquences de coupures vérifient : -3 = -10 log [1+Q²(x-1/x)²] avec -3 = -10 log 2

d'où : 1+Q²(x-1/x)² =2

Q²(x-1/x)² = 1

deux équations du second degré à résoudre et retenir les racines positives :

Q(x-1/x) =1 soit : Qx²-x-Q=0

et Q(x-1/x) = -1 soit : Qx²+x-Q=0

c'est un filtre passe bande d'ordre 2, d'autant plus sélectif que Q est grand.

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