Aurélie nov 2001
relexion réfraction d'une onde

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exercice 1 :

Une lame de verre d'indice ng est revêtue d'un film plastique d'indice nc :

 
  1. L'indice de l'air est noté na; sous incidence normale, montrer que les coefficients de réflexion du champ électrique à l'interface air-film et film-verre sont égaux si : nc² = ng na.
  2. Calculer ces coefficients de réflexion lorsque l'angle d'incidence dans l'air vaut 10°, ng=1,52 et que la relation ci-dessus est vérifiée. Quelle est l'erreur commise si on considère ces deux coefficients égaux entre eux ?
  3. Soit deux milieux (1) et (2) d'indice n1 et n2 séparés par une surface plane.

    - On note R et T les coefficients de réflexion et de transmission ou de réfraction du champ électrique lorsque l'onde incidence parcourt le milieu 1 et on note R' et T' ces mêmes coefficients lorsque l'onde incidence traverse le milieu 2 ; monter que R = - R' et TT' =1-R²..

Exercice 2 :

Soit une plaque de verre d'épaisseur Dx et d'indice de réfraction n placée entre une source S d'onde électromagnétique plane monochromatique de longueur d'onde l et un observateur O.

  1. Montrer que l'effet de la lame de verre sur l'onde reçue en C à pour but d'introduire un déphasage d , l'amplitude Eo du champ électrique de l'onde étant inchangée. Exprimer d en fonction de n, l et D x.
  2. Si |d | est très petit devant l montrer que l'onde reçue en C peut être assimilée à la somme de l'onde en l'absence de plaque d'amplitude Eo et d'une onde de même longueur d'onde, d'amplitude |d | Eo, déphasée de p /2 ( rappel : eu =1+u quandd |u | <<1 même si u est complexe).
  3. Calculer numériquement d pour D x =1mm, l =1mm et n=1,01.
    - La condition |d | <<1 est elle vérifiée ?

 

corrigé
facteur de réflexion : R = coefficient des intensités des ondes incidente et réfléchie .

sous incidence normale pour le dioptre air -film

R1 = [(nc/na-1) / (nc/na +1)]²

sous incidence normale pour le dioptre film-verre

R2 = [(ng/nc-1) / (ng/nc +1)]²

écrire que R1 =R2 ; prendre la racine carrée ; faire les produits en croix et développer :

(nc/na-1) / (nc/na +1) = (ng/nc-1) / (ng/nc +1)

(nc/na-1)(ng/nc +1) = (ng/nc-1) (nc/na +1)

2 ng/nc = 2 nc/na

on trouve la relation n²c = nang.

 angle d'incidence i =10° :

R1 = ½[sin(i-r) / sin(i+r) + tan(i-r) / tan( i+r)] dioptre air-film

R2 = ½[sin(r-i') / sin(r+i') + tan(r-i') / tan( i'+r)] dioptre film-verre.

premier dioptre : sin 10 = nc sin r

second dioptre : nc sin r =1,52 sin i'

d'où sin 10 = 1,52 sin i' et i' = 6,56°.

n²c = nang permet de connaître nc puis l'angle r.

nc = racine carrée (1,52) = 1,233

sin r = 0,142 et r = 8,16°.

le calcul donne R1 = 0,100 et R2 = 0,1034

l'écart est de l'ordre de 3,5%

principe de retour - menu inverse de la lumière : R= -R'

R = ½[sin(i-r) / sin(i+r) + tan(i-r) / tan( i+r)]

R' = ½[sin(r-i) / sin(i+r) + tan(r-i) / tan( i+r)]

avec : sin(i-r) = - sin(r-i) et tan(i-r) = -tan(r-i)

R= -R'.

de plus R+T=1 si la surface n'absorbe pas la lumière

T= 1-R

T' = 1-R' = 1+R

T T' = (1-R)(1+R) = 1-R².

sans lame de vers la lumière traverse l'épaisseur Dx d'air en t seconde ( vitesse c)

avec la lame de verre la lumière traverse la même épaisseur Dx en t1 seconde (vitesse v dans le matériau)

Dx = c t et Dx = v t1 avec n = c/v

t1-t = Dx ( 1/v - 1/ c) = Dx ( 1/c)[n-1].

or w (rad/s) = w = 2p fréquence = 2pc / l0

w(t1-t ) = 2p Dx/ l0 [n-1].

le déphasage d est proportionnel à 2p Dx / l0 (n-1).

expression du champ électrique :

E0 exp(j(w t- d )) = E0 exp (jw t) exp( -j d )

d = 2p Dx / l0 (n-1).

si d / l0 très inférieur à 1 :

exp( -j d ) voisin de : 1-j d =1+ d exp (-jp/2)

d'où : E0 exp (jw t) [1+ d exp (-jp/2)]

E0 exp (jw t) +E0 d exp (-jp/2) .

application numérique :

d = 2p 10-3 / 10-3 (1,01-1)= 2p 10-2. 

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