Aurélie sept 2000


devoirs en terminale S





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1

Les pendules de Galilée

  1. Lire attentivement le texte suivant tiré des " discours concernant deux sciences nouvelles " (1638) de Galilée. Il décrit une de ses premières expériences sur l'étude des oscillations pendulaires:

    " J'ai pris deux boules, l'une de plomb et l'autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en même temps (...) ; une bonne centaine d'allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m'ont clairement montré qu'entre la période du corps pesant, et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n'acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l'action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n'ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont en effet traversés en des temps égaux. "

     

    Les pendules utilisés par Galilée peuvent être assimilés à des pendules simples.

  2. Dans le cas du pendule simple, qu'appelle-t-on oscillation ?
  3. Quelles sont les deux expressions employées dans le texte pour désigner une oscillation ?
  4. Un pendule simple présente une position d'équilibre. Comment Galilée la désigne-t-il dans le texte ?
  5. Le texte permet-t-il de montrer que la période T du pendule dépend ou non de :
  • la masse m de la boule ?
  • la longueur l du fil ? Justifier les réponses.
  1. Si le texte ne permet pas de répondre, proposer une expérience permettant de montrer l'influence de l'une ou de l'autre des grandeurs précédentes.
  2. On propose les expressions suivantes de la période :

    où g est l'accélération de la pesanteur.

  • A partir du texte, quelles expressions de la période doit-on éliminer ?
  • Par analyse dimentionnelle, choisir l'expression correcte de la période.
  • Calculer la période des pendules utilisés par Galilée. La coudée sera prise égale à 50 cm et g à 9,8 m.s-2 .
  1. On suppose que toutes les causes d'amortissement sont négligeables. Les deux pendules sont écartés d'un même angle par rapport à leur position d'équilibre. A l'instant t = 0, on les lâche sans vitesse initiale.
  • Les pendules ont-ils même énergie cinétique au passage par leur position d'équilibre ? Justifier la réponse.
  • Que dire de l'énergie mécanique au cours du mouvement ?

corrigé

un aller et retour - menu.

allée et venue; vibration.

position perpendiculaire


Entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle que...

Pour une longueur donnée de quatre coudées chacun, la période est indépendante de la masse.

Le texte ne donne aucune information concernant l'influence de la longueur du fil.

On pourra proposer de faire l'expérience avec deux fils de longueur différente avec des boules identiques ou non puisque la masse n'intervient pas.


T indépendant de m donc on peut éliminer T1 et T3 .

T2 seul est homogène à un temps.

rac carrée de [ longueur (m) / ms-2]

T = 2,8 s


Les deux pendules ont " un rythme de mouvement rigoureusement identique " donc à chaque instant ils ont la même vitesse. N'ayant pas la même masse, lors du passage par leur position d'équilibre ils ont des énergies cinétiques différentes.

énergie mécanique constante pour chaque pendule.

ou bien :

les deux pendules ont une énergie potentielle initiale différente : même h mais m différent . Leur vitesse initiale étant nulle leur énergie cinétique maximale est égale à leur énergie potentielle initiale donc différente.

(conservation de l'énergie mécanique de chaque pendule).



2

lois de Kepler

(origine : ac-Lille)

  1. La théorie de l'attraction gravitationnelle a été élaborée par NEWTON à partir des lois de KEPLER. Enoncer la première loi de KEPLER
  2. La 3ème loi de KEPLER donne la relation liant la période de révolution
T période d'un satellite autour d'une planète avec a rayon moyen de la trajectoire.
  1. G = constante de la gravitation = 6,67 . 10-11 N.m.kg-2. Déterminer la valeur de la constante dans le système international à partir des indications du tableau.
  2. En déduire la masse du soleil
  3. Déterminer la période de révolution de mercure en jours
  4. Déterminer la distance du soleil à vénus en u.a
  5. La lune satellite de la terre présente une période de révolution de 27, 32 jours en déduire le rayon moyen de son orbite autour de la terre en m.

corrigé


 

première loi de Newton (principe de l'inertie)

Dans un référentiel galiléen, lorsqu'un solide est isolé ou pseudo-isolé (somme des forces égale vecteur nulle), son centre d'inertie G est :

soit au repos si G est initialement immobile

soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme ( le vecteur vitesse est un vecteur constant)


Dans le cas de la terre tournant autour du soleil :

carré de la période (seconde) =(365,26*24*3600)² = 9,94 1011

rayon au cube de l'orbite (distance en mètre)

(1,49 1011)3 =  3,3 1033 m3.

T² / a3 = 3 10-19 .

d'où la masse du soleil (kg):

3 10-19 = 4*3,14² /(6,67 10-11 *Msoleil)

Msoleil =39,44 /(6,67 10-11 * 3 10-19 )= 1,97 1030 kg.


période de révolution de mercure :

T²= 3 10-19 *(0,387*1,49 1011)3 = 5,75 1013

T= 7,584 106s = 87,7 jours.


distance soleil à vénus :

a3 = (224,7*24*3600)² / 3 10-19 = 1,25 1033 m3.

a = 1,08 1011 m = 0,724 ua.


distance terre à la lune :

nouvelle valeur de la constante, laterre étant l'astre central

4*3,14² / (6,67 10-11*5,98 1024) = 9,88 10-14.

a3 =(27,32*24*3600)² /9,88 10-14 = 5,64 1025.

a = 3,83 108 m.



3

les anneaux de saturne

 "On pourrait croire que les anneaux de Saturne sont d'un seul tenant. En fait, il s'agit de nuées de pierrailles, dispersées tout au long du plan équatorial, qui circulent en orbites individuel-les autour de la planète."

Hubert Reeves (Poussières d'étoiles)

Le but de cet exercice est de juger la compatibilité d'un modèle avec la deuxième phrase de cette citation.

  1. L'interaction de gravitation: On considère une planète P, de symétrie sphérique, de masse M et un objet assez petit (assimilable à un point matériel), de masse m. Donner l'expression vectorielle de la force F exercée par la planète sur l'objet. On précisera sur un schéma la direction et le sens de cette force.
  2. Satellite gravitant sur une orbite circulaire : dans l'étude d'un satellite terrestre, on utilise le référentiel géocentrique. Dans le cas présent, quel référentiel analogue doit-on choisir ?
  3. La vitesse : un objet ponctuel gravite sur une orbite circulaire, de rayon r, soumis uniquement à l'attraction gravitationnelle de la planète P. Montrer que la vitesse V de l'objet reste constante et donner l'expression de cette vitesse en fonction de r et des paramètres définis à la question 1.
  4. La période : définir la période de révolution T, et donner son expression avec les mêmes paramètres que la vitesse V. Montrer qu'on retrouve ainsi la troisième loi de Kepler qui indique que : T2 / r3 = Cte ; préciser l'expression, dans la situation présente, de la constante.
  5. Disposition d'une série d'objets ponctuels sur une même orbite : soit un chapelet d'objets, assimilables à des points matériels, mais de tailles et de masses différentes, satellisés autour de Saturne sur une même orbite circulaire de rayon r qu'ils parcourent tous dans le même sens. La figure ci-contre donne la configuration de ces objets à un instant de date donnée (les échelles de taille des objets, par rapport à Saturne, n'ont pas été respectées). On fait l'hypothèse que les interactions gravitationnelles entre ces objets sont négligeables et que seule celle de Saturne intervient.Tous ces objets ont-ils la même vitesse sur l'orbite ? Justifier.
  6. Comment évolue la structure de l'ensemble au cours du temps ?
  7. Disposition de deux objets ponctuels sur deux orbites de rayons différents. Soit deux objets A et B, assimilables à des points matériels, satellisés autour de Saturne sur deux orbites circulaires de rayon rA et rB différents (rA > rB), mais de valeurs voisines. La figure ci-contre donne la configuration de ces objets à un instant de date donnée : ils sont disposés de façon que la direction AB passe par O, le centre de Saturne ; la flèche indique le sens des mouvements (les échelles des rayons n'ont pas été respectées). On considère que l'interaction gravitationnelle entre ces deux objets est négligeable et que seule celle de Saturne intervient. A une date ultérieure, l'objet satellite A a effectué exactement une révolution autour de Saturne ; on souhaite savoir où se trouve l'objet B sur son orbite. Indiquer, en justifiant, laquelle des trois configurations proposées dans la figure ci-dessous est possible.

  8. Les anneaux de Saturne : Décrire le mouvement des particules constituant un "anneau" de Saturne.
  9. Décrire sommairement le mouvement des anneaux les uns par rapport aux autres.
  10. A l'aide de l'étude qui précède, en supposant valides les hypothèses faites, montrer que si les anneaux de Saturne ont été à un moment donné d'un seul tenant (soudés les uns aux autres), il est peu probable qu'ils aient pu le rester. 

corrigé



L'interaction de gravitation

où G désigne la constante de gravitation, r la distance entre le centre O de la planète et l'objet et u, un vecteur unitaire centré en O et dirigé vers l'objet.

Satellite sur une orbite circulaire

Le référentiel utilisé est un référentiel, analogue au référentiel géocentrique, ayant pour origine le centre de la planète et dirigé vers des étoiles "fixes" ; on le suppose galiléen.

La force est centrale et normale à la trajectoire ; l'accélération tangentielle est donc nulle. Ceci implique que la norme de la vitesse reste constante.

Le principe fondamental, appliqué à l'objet de masse m indique que :

Le mouvement est uniforme donc :

Objets sur une même orbite

On a vu que la masse de l'objet satellite n'intervenait pas dans les expressions de V et de T. Sur une même orbite circulaire, tous les objets ont la même vitesse et la même période.

La structure de l'ensemble des objets, distance et rayon de l'orbite ne se modifie donc pas au cours du temps.

Objets sur des orbites de rayons différents

La loi de Kepler indique que T augmente si r augmente ; l'objet A a donc une période TA plus grande que TB, celle de l'objet B. Ce dernier parcourt donc son orbite plus rapidement et met moins de temps pour faire un tour ; il passe donc en "avance" par rapport à A. C'est donc la configuration 2 qui est possible.

Les anneaux de Saturne

Les différentes particules qui constituent un anneau sont sur des orbites de rayons pratiquement identiques ; elles ont donc toutes la même période. L'anneau, tout entier, tourne autour de Saturne avec une vitesse angulaire qui dépend de son rayon.

Les différents anneaux tournent autour de Saturne avec des vitesses angulaires plus grandes pour les anneaux proches que pour les anneaux lointains ; ils "glissent" les uns par rapport aux autres.

Si un anneau était très large, les différences de vitesse entre la périphérie de l'anneau et la partie intérieure provoqueraient des tensions et, à la longue, ces différentes parties finiraient par se disloquer.










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