A- étude d'un séisme :  

Lors d'un séisme, la Terre est mise en mouvement par des ondes de différentes natures qui occasionnent des secousses plus ou moins violentes et destructrices en surface. On distingue :

- Les ondes P, les plus rapides, se propageant dans les solides et dans les liquides.

- Les ondes S, moins rapides, ne se propageant que dans les solides.

Les schémas ci-dessous modélisent la progression des ondes sismiques dans une couche de terre :

1. Les ondes P, appelées ondes de compression sont des ondes longitudinales ; les ondes S, ondes de cisaillement sont des ondes transversales. Définir onde transversale et indiquer le schéma correspondant à chaque type d'onde.
2. Le séisme s'est produit à San Fransisco en 1989. Le document ci-dessous présente le sismogramme obtenu lors de ce séisme à la station EUREKA, située au nord de la Californie.

   L'origine des dates (t=0) est le début du séisme à San Fransisco..
   - A quel types d'ondes (S ou P) correspond chaque train ? Justifier à l'aide du texte introduction.
   - Le début du séisme a été détecté à EUREKA à 8h 15 min 20 s, déterminer l'heure à laquelle le séisme s'est produit à l'épicentre.
   - Sachant que les ondes P se propagent à une célérité moyenne de 10 km/h, calculer la distance entre l'épicentre et EUREKA.
   - Calculer la célérité moyenne des ondes S.

B- Oscillateur mécanique susceptible d'être excité par une onde sismique logitudinale.

L'onde sismique longitudinale est modélisée par une onde sinusoïdale d'amplitude A_s et de période T_s qui se propage suivant une direction horizontale. Cette onde peut agir sur un oscillateur mécanique horizontal et provoque des oscillations horizontales d'amplitude A et de période T. On étudie le comportement de l'oscillateur horizontal dans différentes situations.

1. Oscillateur libre : l'oscillateur est constitué d'un ressort de raideur k et d'un solide de masse m ( la masse du ressort est négligeable devant m)

   Le point O correspond à la position de G à l'équilibre du système. Tous les frottements sont négligés.
   - Donner le nom des forces qui s'exercent sur le solide lorsqu'il occupe la position d'équilibre.
   - Le système est mis en oscillation : donner le nom des forces qui s'exercent sur le solide à une date t. Faire un schéma.
   - En appliquant la deuxième loi de newton au solide, écrire l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie. La solution de cette équation est de la forme x(t) = x_max cos (2pt/ T + j₀) . Donner le nom et l'unité des grandeurs qui interviennet dans cette expression.
   - Donner l'expression de la période propre de l'oscillateur en fonction de k et m.

2. Etude des facteurs qui pourraient influencer sur la période.
   -expérience 1 : m=250 g ; k= 10 N/m ; vitesse initiale nulle ; oscillateur écarté de 5 cm à droite. période mesurée T=1s.
   -expérience 2 : m=250 g ; k= 10 N/m ; vitesse initiale non nulle ; oscillateur écarté de 5 cm à droite et lancé vers la gauche . période mesurée T=1s.
   -expérience 3 : m=250 g ; k= 10 N/m ; oscillateur écarté de 7 cm à droite et laché sans vitesse. x(t=0 ) = 5 cm puis x(t) décroît ). période mesurée T₀=1s.

   - Vérifier par le calcul la valeur de la période.
   - Déterminer les conditions intitales x(t=0 ) et v(t=0) de l'expérience 3.
   - La période de l'oscillateur dépent-elle des conditions initiales de mise en oscillation?
   - Déterminer l'amplitude des oscillations dans chaque expérience. L'amplitude dépend-t-elle de la vitesse initiale ? L'amplitude dépend-telle de l'élongation initiale ?

3. Facteurs qui pourraient influer sur l'amplitude :
   - expérience 4 : m=50 g; k = 10 N/m ; oscillateur écarter de 7 cm à droite à t=0 et laché sans vitesse
   - expérience 5 : m=250 g; k = 7 N/m ; oscillateur écarter de 7 cm à droite à t=0 et laché sans vitesse
   -Déterminer la valeur de la période pour chaque expérience. L'amplitude des oscillations dépend-elle de la période de l'oscillateur ?
4. Oscillateur soumis à des oscillations forcées : L'excitateur oscille avec une période T_E et une amplitude A_E. L'oscillateur précédent (m=250 g et k = 10 N/m) atteint, après un régime transitoire, un régime d'oscillations sinusoïdales de période T.
   - expérience 6 : T_E= 0,6 s, A_E= 5 cm.
   - expérience 7 : on modifie la période de l'excitateur en conservant A_E. On mesure la période T de l'oscillateur et on trace T= f(T_E)
   - expérience 8 : on modifie la période de l'excitateur en conservant A_E. On mesure l'amplitude de l'oscillateur et on trace x_max= f(T_E)

   - Déterminer ( graphe 6) l'amplitude et la période de l'oscilateur. Les comparer à A_E et T_E.
   - Quel renseignement sur la période de l'oscilateur nous donne le graphe 7. Justifier.
   - Quel phénomène le graphe 8 met-il en évidence ? Evaluer graphiquement la période T_R de ce phénomène et comparer à T₀, période propre de l'oscilateur.

5. Oscilateur soumis à une onde sismique longitudinale : l'onde sismique longitudinale est assimilée à une excitation sinusoïdale de période constante Tset d'amplitude A_s.
   - L'oscilateur est dans le plan horizontal. Pour que l'excitation de l'oscillation soit maximale, quelle doit être la direction privilégiée de l'onde sismique longitudinale ?
   - L'oscillateur est soumis à cette onde sismique longitudinale. Après le régime transitoire quelle sera la période T des oscillations de l'oscillateur soumis à l'onde sismique ?
   - En utilisant le graphe 8 que peut-on dire de l'amplitude des oscillations de l'oscillateur pour une même amplitude A_s de l'onde sismique.
   a- Si la période de l'onde sismique est égale à la période propre de l'oscillateur ?
   b- Si la période de l'onde sismique est supérieure ou inférieure à la période propre de l'oscillateur.