Deux enfants Amélie et Benoît sont sur un balcon. Ils jouent avec des palets de hockey identiques, et, au cours de leurs différentes parties, ils s’interrogent......

1. Première partie : Amélie lâche son palet A sans vitesse initiale, et, en même temps, de la même altitude par rapport au sol, Benoît lance son palet B avec une vitesse initiale horizontale v₀ . Benoît pense que son palet touchera le sol plus tard que celui d’Amélie. La modélisation est la suivante :

- les palets sont assimilés à des points matériels (confondus avec leur centre d’inertie) de masse M,

- les actions de l’air sont négligeables par rapport aux autres forces,

- les palets sont initialement à une altitude h = 5,0 m par rapport au sol (voir schéma n° 1).

On considérera que le référentiel terrestre est galiléen et on prendra pour accélération de la pesanteur g = 10 m.s^-2.

1. On considère que le mouvement a lieu dans le plan vertical xOy (voir schéma n°1). Dans le repère (O, i, j), représenté sur le schéma n°1, établir sous forme littérale les équations horaires x_B(t) et y_B(t) du palet B.
   - En déduire l’expression littérale de la durée de chute t_B.
   - À l’aide de ce résultat, montrer que Benoît a tort, et préciser si son palet arrive plus tôt ou en même temps que le palet d'Amélie.

2. Deuxième partie : Amélie et Benoît décident de comparer leur force. Une gouttière lisse et horizontale leur sert de rampe de lancement. L'un après l'autre, chacun d'eux place son palet en K et le pousse jusqu’au point O où le palet quitte la rampe.

Le palet A touche le sol à la distance DA = 8,0 m du pied H du balcon , le point H appartenant au plan vertical xOy. Le palet B touche le sol à la distance DB = 4,0 m de H. Amélie affirme à Benoît : « je suis deux fois plus forte que toi. ». On se propose de savoir si elle a raison.

L’étude dynamique du mouvement du centre d’inertie du palet dans la phase de chute conduit à l’expression :

où v₀ est la valeur de la vitesse en O.

On modélise l’action des mains d’Amélie (ou de Benoît) sur un palet par une force horizontale constante F qui s’exerce sur la distance KO = L = 1,0 m. La vitesse en K est nulle (voir schéma n° 2). Les forces de frottement agissant sur un palet sont négligées par rapport aux autres forces.

1. Faire le bilan des forces appliquées à un palet entre K et O et les représenter sur un schéma.
2. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer l’expression de v₀ en fonction de F, M et L.
3. En déduire l’expression de F en fonction de D, M, L, g et h.
4. En déduire, sans calcul numérique, si la valeur de la force exercée par Amélie est deux fois plus grande que celle exercée par Benoît. Justifier.

3. Troisième partie : Amélie se demande quelle vitesse devrait avoir le palet s’il tournait au voisinage de la surface de la Terre. Le mouvement supposé du palet peut être assimilé, dans ce cas, à un mouvement circulaire de centre T, centre de la Terre, et de rayon R = 6,4 ×10³ km.

1. Au cours d’un tel mouvement, le champ de gravitation peut-il être considéré comme uniforme ? Justifier.
2. Dans quel référentiel faut-il se placer pour étudier ce mouvement circulaire?
3. En assimilant le champ de gravitation au champ de pesanteur, montrer que ce mouvement serait uniforme.
4. Établir alors l’expression de la vitesse du palet en fonction de g et de R.
5. Calculer la valeur numérique de cette vitesse, en prenant g = 10 m.s^-2.