Aurélie 06/02

un xylophone d'enfant France 06/02 ( sans calculatrice)




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 Les instruments de musique correctement accordés produisent des notes (do5, ré5, ..., la7, si7) dont les fréquences sont définies très rigoureusement, à savoir :
note
fréquence (Hz)
note
fréquence (Hz)
note
fréquence (Hz)
do5
1046
do6
2093
do7
4186
ré5
1175
ré6
2350
ré7
4699
mi5
1318
mi6
2637
mi7
5274
fa5
1397
fa6
2794
fa7
5588
sol5
1568
sol6
3136
sol7

la5
1760
la6
3520
la7
7040
si5
1976
si6
3951
si7
7902
Un xylophone d'enfant est composé de 8 tubes métalliques creux (notés a, b, ..., g, h), tous identiques mais de longueurs l différentes. Lorsqu'on frappe sur l'un de ces tubes avec un petit marteau, il vibre, ce qui produit un son bref d'une durée d'environ 2 secondes.

On place devant le xylophone un microphone qui transforme le son en tension électrique. En reliant le microphone à une interface d'acquisition, on cherche à tracer le graphe de la tension aux bornes du microphone en fonction de la durée et à en déduire la période du son.

 

 

  1. Obtention de l'enregistrement.
    Comme pour un oscilloscope, qu'il est nécessaire de régler, il faut paramétrer l'interface d'acquisition afin d'obtenir un enregistrement exploitable. On peut régler deux paramètres de la voie d'acquisition : la durée d'acquisition (c'est-à-dire la durée de l'enregistrement) et la sensibilité verticale (ou calibre de la voie).
    L'expérimentateur fait plusieurs essais avec le tube a en utilisant un dispositif permettant de frapper les tubes d'une façon que l'on considérera identique à chaque fois. Il obtient les enregistrements I, II et III donnés dans l'ANNEXE ci-dessous, représentant la tension aux bornes du microphone en fonction de la durée.
    - Quel(s) paramètre(s) de l'interface l'expérimentateur a-t-il modifié(s) entre l'enregistrement I et l'enregistrement II ?
    - Quel(s) paramètre(s) de l'interface l'expérimentateur a-t-il modifié(s) entre l'enregistrement II et l'enregistrement III ?

     

  2. Modélisation de la tension.
    L'expérimentateur décide de conserver l'enregistrement II. Pendant la durée d'acquisition de cet enregistrement, la tension électrique peut être considéré comme sinusoïdale de la forme u(t) = Um cos (wt+j). Un logiciel de traitement permet de déterminer les valeurs de Um, w et j. Pour le tube a, il propose : Um = 83 mV ; w = 1,32 104 S.I et j = -1,74 rad.
    - Le choix d'une fonction sinusoïdale comme modèle convient-il pour les deux autres enregistrements I et III ? Justifier sans calcul.
    - Que représente la grandeur Um ?
    - Que représente la grandeur w ? Quelle est son unité ?
    - Donner la relation entre et la fréquence de la tension électrique.
    -En déduire la valeur de la fréquence f et celle de la période T de la tension électrique.
    Aide au calcul numérique :1,32 / 2p =0,21 ; 2p /1,32 = 4,76 ; 1,32*2p =8,29 ; 1 / (1,32*2p )= 0,121
  3. La vibration du tube :
    On admettra que la fréquence de la vibration du tube est la même que celle du son et que celle de la tension électrique enregistrée.
    - Observation globale du phénomène : le tube vibre quand il est frappé avec un marteau. Le son produit s'atténue et n'est plus audible au bout de 2 secondes. Décrire par une phrase ce qui se passe pour le tube en choisissant les termes adaptés dans la liste suivante : oscillations ; mécaniques ; électriques ; libres ; entretenues ; forcées ; amorties ; non amorties ; critiques.
    - Etude restreinte à la durée d'acquisition : on rappelle que pendant la durée d'acquisition de l'enregistrement, la tension électrique peut être considérée comme sinusoïdale. Quelle est la fréquence du son émis par le tube a ? A quelle note cela correspond-t-il ?
    - L'expérimentateur a utilisé une interface d'acquisition. Il aurait pu utiliser un oscilloscope à mémoire. Pourquoi n'a-t-il pas utilisé un oscilloscope classique ?
  4. Variation de la période du son en fonction de la longueur du tube.
    On réalise la même expérience pour les 7 autres tubes. Pendant les acquisitions, la tension électrique peut être considérée comme sinusoïdale comme dans l'enregistrement II de la question 2. Grâce à la valeur de donnée par le logiciel, on en déduit la période T et la fréquence du son émis par chaque tube. On obtient le tableau de mesures suivant :

    Tube b
    Tube c
    Tube d
    Tube e
    Tube f
    Tube g
    Tube h
    longueur l (cm)
    17,3
    16,3
    15,4
    14,8
    14
    13,2
    12,8
    T en ms
    0,43
    0,381
    0,34
    0,317
    0,286
    0,253
    0,238
    f en kHz
    2,32
    2,64
    2,94
    3,15
    3,5
    3,95
    4
    - On donne l'enregistrement IV dans l'annexe ci-dessus. En le comparant aux autres enregistrements, justifier qu'il s'agit de l'enregistrement du son d'un tube différent du tube a.
    - Sans la mettre en œuvre , décrire la méthode qui permettrait de montrer, à partir des valeurs du tableau précédent, que la période T du son n'est pas proportionnelle à la longueur du tube ?
    - On a tracé le graphe représentant T en fonction de l² :

A partir du graphique, justifier que l'on peut considérer que la période T est proportionnelle à l².

En déduire la relation numérique entre T et l en précisant les unités.
Aide au calcul numérique : 4,3/3 = 1,4 : 3/4,3 = 0,7 ; 3*4,3 = 12,9 ; 1/ (3*4,3) = 0,078.
- Lorsque la fréquence expérimentale du son émis par un tube est très différente de la fréquence de la note attendue pour ce tube, le tube est mal accordé. L'expérimentateur constate que l'un des tubes est mal accordé. Indiquer lequel.
Pour accorder ce tube, faut-il augmenter ou diminuer sa longueur, tous les autres paramètres restant constants ? Justifier la réponse.

 




corrigé
Entre les enregistrements I et II seule l'échelle de l'axe vertical a changé, donc seule la
sensibilité verticale a été modifiée.

Entre les enregistrements II et III, seule l'échelle de l'axe horizontal a changé, donc seule la durée d'acquisition a été modifiée.

Pourl'enregistrement I, la tension est d'amplitude constante, donc on peut la modéliser par une sinusoïde.

Par contre, pour l'enregistrement III, la tension a une amplitude qui décroît, donc le choix d'une fonction sinusoïdale ne convient pas.

Um est l'amplitude de la tension u(t) : c'est la valeur maximale prise par la tension au cours du temps.

w est la pulsation exprimée en rad / s.

La relation entre la fréqence et la pulsationt est w = 2p f.

4 périodes correspondent à 1,9 ms : T= 4,75 10-4 s ; f= 1/T = 2100 Hz.


Le tube est le siège d'oscillations mécaniques libres amorties

la fréquence du son émis est la même que celle de la tension.

En regardant le tableau au début de l'énoncé, on en déduit qu'il s'agit d'un do6.

Un oscilloscope classique ne permet de visualiser de façon stable à l'écran que des phénomènes qui se répètent dans le temps. Or ici deux secondes après avoir frappé le tube, le son s'arrête, l'oscilloscope clasique n'est donc pas adapté.


Le signal de l'enregistrement IV présente 7 périodes en 2 ms alors que les autres en présentent un peu plus de 4 pendant la même durée. Il s'agit donc bien de l'enregistrement du son d'un tube différent du tube a.

En traçant le graphe Cde la fonction T = f(l), on montrerait que la période du son n'est pas proportionnelle à la longueur du tube car C ne serait pas une droite passant par l'origine du repère.

Le graphe de la fonction T= f (l²) est une droite passant par l'origine du repère donc on peut considérer que T est T proportionnelle à l² .

La droite passe par le point de coordonnées ( 0,03 m² = 3 10-2 m²; 0,43 ms = 4,3 10-4 s) donc le coefficient de proportionnalité est :

a = 4,3 10-4 / 3 10-2 = 1,4 10-2 s m-2.

Donc T= 1,4 10-2 l² avec l en m et T en s.

le tube a correspond au do6. Le tube d devrait correspondre au fa6, c'est-à-dire osciller à une fréquence voisine de 2794 Hz ; or il oscille à 2940 Hz. C'est donc le tube d qui est ma accordé.

Comme il y a proportionnalité entre T et l² pour diminuer la fréquence du son émis, il faut augmenter sa période, c'est à dire augmenter la longueur du tube.


à suivre ...

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à bientôt ...