étude d'un texte historique

"J'ai pris deux balles, l'une de plomb, l'autre de liège, celle-là bien plus de cent fois plus lourde que celle-ci ,toutes deux attachées à des fils fins et égaux, longs de 4 à 5 coudées(la coudée est une ancienne mesure de longueur,équivalant à la distance du coude au bout du médius ,soit environ 50 centimètre), fixés par le haut .Puis ,les ayant éloignées l'une et l'autre de la verticale, je les ai laisées aller en même temps;et toutes deux descendant le long des circonférences des cercles décrits par les fils et de rayons égaux,dépassèrent la verticale;puis elles revinrent en arrière par le même chemin et répétant bien cent fois les mêmes allées et venues,elles ont montré d'une manière évidente que le boule lourde marche tellement dans le même temps que la légère ,qu'elle ne dépasse pas ce temps ni cent oscillations, ni en mille du plus petit intervalle ,mais elle marche d'un pas tout à fait égal.

Éloignant le pendule de plomb à 50° de la verticale, et le laissant en liberté, il court, et dépassant la verticale presque de 50 autres degrés, il décrit un arc de près de 100° .retour - menunant alors en arrière sur lui-même, il décrit un autre arc plus petit : et continuant ses oscillations, après un grand nombre de celles-ci, il revient enfin au repos. Chacune de ces oscillations se fait dans des temps égaux, tant celle de 90° , que celle de 50° ou de 20°, de 10°, de 4° .Il s'ensuit que la rapidité du mobile diminue toujours, puisque dans des temps égaux il décrit successivement des arcs de plus en plus petits.

Ensuite, quant à la proportion des temps des oscillations des mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, des expériences répétées, des chacun peut faire m'ont démontré que ces temps sont en proportion sous-doublée des longueurs des fils; en d'autres termes, les longueurs des fils sont en proportion doublée des temps, c'est-à-dire qu'elles sont comme les carrées des temps des oscillations isolées ou d'un égal nombre d'oscillations; de sorte que ,si l'on veut que le temps des oscillations d'un pendule soit double du temps des oscillations d'un autre, il faut que la longueur de la corde de celui-là soit quadruple de la longueur de la corde de celui-ci .Et alors dans le temps d'une vibration d'un pendule, un autre en fera trois, si sa corde est neuf fois moins longue que celle de l'autre. Il suit de là que les longueurs des cordes ont entre elles la proportion réciproque qu'ont les carrées des nombres des oscillations qui se font dans le même temps"

(traduction de j.Gay d'extraits des dialogues de Galilée,publiés en 1632)

d'après "physique et physiciens"

Robert Massain ed. Magnard

questions :

1. Traduire en une phrase l'interprétation de l'expérience décrit dans le premier paragraphe.
2. Le résultat de cette expérience est-il en accord avec l'expression de la période du pendule simple?
3. Dans l'expérience décrite au paragraphe 2 , les oscillations du pendule sont-elles de faible amplitude? Comment peut-on qualifier les oscillations observées? Comment s'appelle le durée d'une oscillation dans ce cas-là.
4. Justifier la propriété énoncée dans le paragraphe 3 à partir de l'expression de la période du pendule simple.

exercice 2 :

Pour permettre d'apporter une preuve expérimentale, élégante et simple de la rotation de la Terre sur elle-même, Foucault imagina plusieurs expériences qui utilisent les propriétés d'un pendule simple. Celle réalisée au Panthéon eut un grand succès populaire. Il fit connaître sa découverte à l'académie en 1851 : voici des extraits du texte de sa communication:

"Le mouvement de la Terre sur elle-même est ici rendu évident au moyen d'un grand pendule, dont le fil attaché au sommet de la coupole descend jusqu'au niveau de la rampe et porte à son extrémité inférieure une boule formée d'une enveloppe de cuivre renfermant une masse de plomb qui la remplit complètement. Le fil a 67 mètres long ...;la boule pèse 28 kilogrammes... Quand il est au repos, le pendule marque le point de centre commun à la table et au grand cercle de bois (la rampe) qui l'entoure.Ce cercle a 6 mètres de diamètre.."

"Si (...)on éloigne de sa position d'équilibre la masse du pendule et si on l'abandonne à l'action de la pesanteur sans lui communiquer aucune impulsion latérale, son centre de gravité repassera par la verticale, et, en vertu de la vitesse acquise, il s'élèvera de l'autre côté de la verticale à une hauteur presque égale à celle d'où il est parti. Parvenu à ce point, sa vitesse expire, change de signe, et le ramène, en le faisant encore passer par la verticale, un peu au dessous de son point de départ.Ainsi l'on provoque un mouvement oscillatoire de la masse pendulaire suivant un arc de cercle dont le plan est nettement déterminé et auquel l'inertie de la masse assure une position invariable dans l'espace."

"Ce pendule, le plus grand qui ait été construit jusqu'ici, donne une oscillation de huit secondes; il lui faut 16 s pour aller et venir. Quoique ces oscillations diminuent d'amplitude assez rapidement, au bout de cinq ou six heures, elles sont encore assez grandes.

"Pour lancer le pendule on écarte la "boule" jusqu'au bord du grand cercle en bois et on lâche sans vitesse initiale" et, pour voir comment il marche, on place sur le rebord du cercle de bois deux bancs (tas) de sable humide, fraîchement moulés lis sont alignés selon la course du pendule. Celui-ci pratique en passant sur chacun d'eux, une petite brèche qui s'agrandit de plus en plus tant que oscillations dépassent le cercle de bois. L'agrandissement de la brèche a toujours lieu vers la gauche de la personne qui regarde vers le centre, comme si le plan d'oscillation tournait de droite à gauche..."

(dans toutes les expressions littérales on notera L la longueur du fil , m la masse de la "boule" , pour les applications numériques, on prendra g=9,81 m.s^-2.

questions :

Lorsque l'angle a est petit, il est recommandé d'utiliser les formules d'approximation suivantes:

a ( rad) voisin tan a voisin sin a

cos a =1 - a²/2 (l'angle s'exprime en radian)

1. Vérifier que l'amplitude angulaire maximale donnée au pendule est : a_m = 2,6°
2. Le mot "oscillation" utilisé par Foucault dans le passage "donne une oscillation de huit secondes" vous parait-il correctement employé? Pourquoi?
3. La période des petites oscillations pour un pendule simple a pour expression: T₀ =2p racine carré ( L / g ).
   -Vérifier par l'analyse dimensionnelle l'homogénéité de cette formule.
   - Calculer la période d'oscillation d'un pendule simple ayant même longueur de fil que le pendule de Foucault .
   - En comparant cette valeur à celle de la période du pendule de Foucault, peut-on assimiler ce dernier à un pendule simple?

étude énergétique :

Le pendule est écarté de sa position de repos de l'angle a_m et lâché sans vitesse initiale. L'énergie potentielle du système pendule-terre est choisie égale à zéro pour la position de repos du pendule.

1. Sous quelles formes le système étudié possède-t-il de l'énergie?
2. Exprimer littéralement l'énergie mécanique de ce système au moment où on lâche le pendule. Calculer sa valeur .
3. On veut calculer la vitesse v_m de la "boule" (considérée comme un point matériel) au premier passage par le point le plus bas de sa trajectoire après son lancement.
   - Quelle hypothèse doit-on faire sur l'énergie mécanique du système pour effectuer ce calcul?
   - Cette hypothèse étant supposée admise, calculer v_m.
   - Interpréter, en termes de transferts d'énergie, l'évolution de la vitesse du pendule décrite dans le deuxième paragraphe du texte de Foucault.

expérience de Foucault :

1. L'expérience du pendule de Foucault est reprise actuellement au panthéon. On utilise un pendule de même longueur, de mêmes dimensions, mais de masse 47 kg. Parmi les grandeurs suivantes, indiquer celles qui sont modifiées et dans quel sens:
   - La période du pendule.
   - L'énergie mécanique initiale du système. On justifiera les réponses sans calcul numérique.
2. Quelle propriété du pendule évoquée dans le texte, permet de mettre en évidence la rotation de la Terre?
   -Quelle observation faite au moment de l'expérience permet de conclure "Bien sûr qu'elle tourne "?