Aurélie nov 2001

satellite-chute-mouvement parabolique

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satellite sur une orbite circulaire :

La Terre est assimilée à une sphère homogène de masse M , de centre T et de rayon R = 6380 km . On admettra que la force de gravitation ,qu'elle exerce sur les objets situés à une distance r > R de son centre T ,est la meme que si toute la masse MT était concentrée en T .On notera G la constante de gravitation et on prendra : G = 6,67 10-11 N.m2.kg-2 . Un satellite artificiel de la Terre, de masse m ,est en orbite circulaire à l'altitude h = 300 km au dessus de la Terre .

  1. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Déterminer l'expression de sa vitesse en fonction de r =R + h , G et M.
  2. On sait que v = 7740 m.s-1 .Calculer la masse de la Terre .

descente du satellite :

Pendant cette phase, le champ de pesanteur (vecteur de ) g est supposé uniforme (g = 10 m.s-2 ) . L'axe des z est choisi parallèle à g et de sens opposé.Le sol terrestre supposé horizontal est pris comme plan xOy des coordonnées . On suppose que le satellite, freiné par un parachute, descend d'un mouvement vertical rectiligne uniforme , de vitesse v1 = 10 m.s-1 . Le satellite étant arrivé au point M0 de coordonnées (x0 = 0, y0 = 0, z0 = 3,0 km ), à un instant pris comme origine des temps, une balise radio est éjectée horizontalement du satellite dans le plan xOz avec le vecteur vitesse v2 (v2 = 2 m.s-1 ) par rapport au satellite : cela signifie qu'au point M0 , la balise radio a par rapport à la Terre, le vecteur vitesse initiale

Le mouvement du satellite est supposé non modifié par l'éjection de la balise . Celle-ci tombe dans le champ de pesanteur terrestre, les frottements de l'air étant supposés négligeables .

  1. On appelle zs l'altitude instantanée du satellite , xB, yB et zB les coordonnées instantanées de la balise. Déterminer les équations horaires zs(t), xB(t), yB(t) et zB(t)
  2. Lequel des deux objets, le satellite ou la balise, touchera le sol en premier ? Quel est l'intervalle de temps qui sépare les deux arrivées

 




corrigé


le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète

dans la base de Frenet :

suivant l'axe n = GMm /(R+h)² = mv²/ (R+h)

d'où la vitesse : v² =GM / (R+h)

suivant l'axe t : dv/dt = 0 doù norme de la vitesse constante et mouvement uniforme.

masse de la terre :

mettre les distances en mètres R+h = (6380+300)103 = 6,68 106 m

v² = 7,74 ² 106 = 6 107 m²/s²

M= v²(R+h) / G = 6 107 *6,68 106 / 6,67 10-11 = 6 1024 kg.


le mouvement du satellite est uniforme suivant Oz : zs = -10 t +3000.

durée de la chute : t= 3000/ 10 = 300 s.

le mouvement de la balise est dans le plan contenant l'accélération g et le vecteur vitesse initiale.

composantes du vecteur accélération : (0 ; -10)

composantes du vecteur vitesse initiale : (2 ; -10)

composantes du vecteur position initial : (0 ; 3000)

le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération : (2 ; -10t -10 )

le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse :

x = 2 t et z = -5 t² -10t +3000

équation de la trajectoire parabolique :

t= 0,5 x et repport dans z

z = -5 x² / 4 -10 x/2 +3000

z = -1,25 x²-5x+3000.

durée de la chute :

au sol z=0 soit -5t² -10t +3000 =0

t² +2t-600 = 0

résoudre et conserver la racine positive

D = 4+600*4 = 2404

prendre la racine carrée de 2404 donne 49

t= (-2+49) / 2 = 23,5 s.

la balise touche le sol en premier, 300-23,5 = 264,5 s avant le satellite.



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