Aurélie nov 2001

étude expérimentale d'un pendule élastique

Antilles 09/00




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dispositif et graphes :

Sur un banc à coussin d'air horizontal, un palet de masse m = 45 g est accroché à un ressort de raideur k ; l'autre extrémité du ressort est fixe. La masse du ressort est négligée. La position du centre d'inertie est repérée par son abscisse x mesurée à partir de la position d'équilibre ( à x=0 le ressort n'est ni allongé ni comprimé). Le palet est écarté de sa position d'équilibre avant d'être lâché.

On réalise deux enregistrement avec le même ressort et le même palet.

La figure ci-dessous représente l'une des forme de l'énergie en fonction du temps.

 

Questions :

  1. On propose trois expressions de la période T de l'oscillateur. k s'exprime en kg/s², Xm est l'amplitude des oscillations , g est l'accélération de la pesanteur en m/s².

    - Donner l'expression de T qui n'est pas compatible avec l'analyse dimensionnelle.
    - A partir des graphes proposés déterminer l'expression de la période T.

  2. Quelle est la forme d'énergie représentée par la courbe 3 ?
    - Indiquer l'expression de cette énergie en fonction des données de l'énoncé.
    - Quelle est la valeur maximale de cette énergie ?
    - Cette valeur est-elle compatible avec la valeur calculée à partir des caractéristiques de l'oscillateur lors de l'expérience 1 ?
    - On suppose l'énergie mécanique constante au cours du mouvement : citer une observation expérimentale qui justifie cette hypothèse.
    - En déduire la vitesse maximale atteinte par le palet lors de la première expérience.
  3. On repère les instants t1 et t2 pour lesquels l'élongation x de G est égale à 10 mm. Compléter le tableau ci-dessous . La colonne comparaison doit comporter l'un des siqnes suivants : = ; < ; > .
    grandeur
    expérience 1 à la date t1
    comparaison
    expérience 2 à la date t2
    justification
    énergie potentielle du système (palet + ressort)
    Ep1
    =
    Ep2
    l'énergie potentielle ne dépend que de l'élongation (qui sont ici identiques)
    énergie mécanique
    EM1

    EM1

    énergie cinétique
    Ec1

    Ec2

    vitesse du palet
    v1

    v2




corrigé


l'expression (1) est incorrecte:

k / m : [kg] [s]-2[kg]-1soit [s]-2.

prendre la racine carrée :[s]-1.

on trouve l'inverse de la période

l'expression (3) est incorrecte:

d'après les graphes (1) et (2) la période est indépendante de l'amplitude Xm.

La période est donnée par la relation (2).

raideur :

valeur de la période, lecture graphique : T=1 s

masse en kg soit 0,045 kg

1= 4 p² m / k d'où k= 4p²m= 4*3,14²*0,045 = 1,77 N/m.


énergie :

En absence de frottement, l'énergie mécanique est constante

l'énergie cinétique est maximale pour x=0, passage à la position d'équilibre

l'énergie potentielle élastique est nulle à la position d'équilibre.

Ep = ½ kx².

cette énergie potentielle élastique est maximale lorsque x=amplitude = 15 mm = 0,015 m

L'énergie mécanique se trouve alors intégralement sous forme potentielle.

Em = 0,5 *1,77 * 0,015 ² = 0,199 mJ.

lecture graphe (3) : 0,2 mJ

ces deux valeurs sont compatibles.

L'énergie mécanique est constante : graphes (1) et (2) , l'amplitude ne diminue pas au cours du temps

donc il n'y a pas d'amortissement.

Au passage à la position d'équilibre (x=0) l'énergie mécanique se trouve intégralement sous forme cinétique :

2 10-4 = 0,5 mv² = 0,5 *0,045 v²

v² = 2 10-4 / 0,0225 = 0,0088

vmax = 0,094 m/s.


grandeur
expérience 1 à la date t1
comparaison
expérience 2 à la date t2
justification
énergie potentielle du système (palet + ressort)
Ep1
=
Ep2
l'énergie potentielle ne dépend que de l'élongation (qui sont ici identiques)
énergie mécanique
EM1
<
EM1
*
énergie cinétique
Ec1
<
Ec2
**
vitesse du palet
v1
<
v2
***
* expérience 2 : l'amplitude est 2 fois plus grande, l'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude

donc énergie mécanique (2) = 4 énergie mécanique (1)

** l'énergie potentielle élastique est identique aux dates citées.

L'énergie mécanique en (2) est 4 fois plus grande qu'en (1)

l'énergie mécanique est la somme des énergies potentielle et cinétique

donc Ec(2) > Ec(1).

*** L'énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse.

A la plus grande énergie cinétique correspond la plus grande vitesse



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