Aurélie sept 2001

devoirs en terminale S

la balle qui tombe bac Polynésie 06 / 01




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On désire étudier la chute d'une balle de tennis de masse m=58g de rayon r0 = 3,35 cm et de volume V0. On enregistre le mouvement avec un camescope à grande vitesse puis on relève les positions successives du centre d'inertie G de la balle. A la date t=0, la balle est lâchée sans vitesse initiale d'un point O pris comme origine de l'axe vertical, orienté vers le bas. Volume d'une sphère : 4 /3 p r3.

chute libre :

On néglige dans cette partie l'influence de l'air.

  1. A partir de l'enregistrement des positions successives de G, centre d'inertie de la balle, donner une méthode permettant d'obtenir la valeur de la vitesse v de ce point à la date t.
  2. A partir du théorème du centre d'inertie, établir l'expression de la valeur de la vitesse v en fonction du temps et vérifier que l'allure de la courbe donnée (courbe 1) est en accord avec cette relation.

expérience :

On réalise maintenant cette expérience et par une méthode non décrite ici, et on obtient les résultats suivants qui permettent d'obtenir la courbe (2) ci dessus.

z(m)
0
1
3
5
7
9
11
15
20
30
t(s)
0
0,453
0,788
1,024
1,219
1,390
1,546
1,82
2,138
2,693
v(m/s)
0
4,4
7,4
9,5
11
12
13
15
17
19
Dans cette partie on tient compte de la résistance de l'air.

  1. Comment varie l'accélération du centre d'inertie de la balle entre les dates t=0 et t=4 s?
  2. Lors de la chute,la balle rencontre des molécules d'air qu'elle heurte. Citer les deux types de molécules qui constituent majoritairement l'air qui nous entoure.
  3. Il faut donc tenir compte de deux nouvelles forces qui s'exercent sur la balle:
    - la poussée d'archimède dont la valeur constante au cours de la chute est égale au poids du volume d'air V0.
    - une force de frottement f dont la valeur dépend de la vitesse au carré, de la section de la balle S ( aire d'un disque de rayon r) de la masse volumique
    r de l'air et d'un coefficient de forme Cx qui pour une sphère vaut 0,44.
    f = ½ Cx r S v²

    - Calculer la valeur de la poussée d'Archimède sur la balle de tennis ( masse volumique de l'air = 1,3 kg / m3) et montrer que cette force est négligeable devant le poids de la balle.
    - Vérifier que l'application du théorème du centre d'inertie conduit à une équation de la forme :

    - A l'aide de l'analyse dimensionnelle, montrer que V a les dimensions d'une vitesse.
    - Quelle est la valeur de l'accélération lorsque la vitesse v atteint la valeur V?
    - Quelle est alors la nature du mouvement ultérieur?
    - Montrer que dans le cas d'un corps sphérique de masse volumique
    m et de rayon r, on peut écrire :

    - De deux sphères de même rayon mais de masse volumiques différentes quelle est celle qui tombe le plus rapidement

discussion :

Simplicio (personnage de l'oeuvre de Galilée) affirmait que, lancées de hauteur d'homme (h=2 m), une boule de pétanque et une balle de tennis touchent le sol en même temps. On réalise l'expérience et on obtient les deux courbes suivantes.

- Indiquer la courbe qui correspond à la balle de tennis et celle qui correspond à la balle de pétanque (masse 700g et r =3,8 cm)

- si on utilise la courbe ci-dessous sur laquelle on a porté:

- en ordonnée: la différence d'altitude H entre les deux mobiles lâchés en même temps d'une même hauteur h, lorsque le premier touche le sol. en abscisse : la hauteur h;

Quelle réponse faudrait-il apporter à Simplicio?

 




corrigé


vitesse à la date t :

faire un calcul de vitesse moyenne entre deux dates très proches l'une de l'autre (Dt de l'ordre de quelques millisecondes)

en chute libre la balle est soumise uniquement à son poids;

la seconde loi de Newton projetée sur un axe vertical orienté vers le bas s'écrit : mg = ma d'où a=g

la vitesse est une primitive de l'accélération : v=gt + v0.

la vitesse initiale étant nulle : v=gt, droite de pente 9,8m/s² ( courbe1).


à t voisin de zéro, les deux courbes sont confondues: a=g

à t supérieur à 4s, la courbe (2) est une droite horizontale: vitesse constante en norme direction et sens

le coefficient directeur de cette droite donne l'accélération: a=0

le mouvement est rectiligne uniforme au delà de t=4s.

l'air contient principalement du dioxygène (20% en volume) et du diazote N2.


poussée d'Archimède :

volume de la balle de tennis

rayon = 3,35 10-2 m

4/3*3,14*(3,35 10-2 ) 3 = 1,57 10-4 m3.

poussée : V0rairg=1,57 10-4 * 1,3 * 9,8 = 2 10-3 N.

poids de la balle : 0,058*9,8 =0,56N

Le poids est environ 300 fois supérieur à la poussée: celle ci est négligeable devant le poids.


analyse dimensionnelle :

b : Cx sans dimensions ; r : [kg) (m]-3 ; S : [m]²

b : [kg] [m]-1 ;

V² : m en [kg] ; g en [m] [s]-2;

V² : [kg] [m] [s]-2 [kg]-1 [m] soit [m]2 [s]-2

V s'expime en m/s; c'est une vitesse


Lorsque la vitesse limite est atteinte, dv/ dt =0

l'accélération est nulle. Le mouvement ultérieur est uniforme

la trajectoire étant une droite, le mouvement est rectiligne uniforme.


S est l'aire d'un disque et la masse m (kg) est égale à la masse volumique (kg/m3) fois le volume de la sphère (m3)

la vitesse limite est proportionnelle à la racine carrée de la masse volumique du matériau ( le rayon des sphères étant le même).

Le matériau le plus dense a la plus grande vitesse limite.

Ce dernier tombe le plus rapidement.

masse volumique de la boule de pétanque :

volume = 4/3*3,14*0,0383 = 2,3 10-4 m3.

m = 0,7 / 2,3 10-4 = 3047 kg/m3.

la boule de pétanque est plus dense que la balle de tennis.

la courbe (2) correspond à la balle de tennis: V voisin de 18 m/s

la courbe (1) correspond à la boule de pétanque pour laquelle la vitesse limite n'est pas encore atteinte à t=4s.


Pour h=2 m (hauteur d'homme) H=2 cm

en conséquence on peut affirmer que les deux boules touchent le sol en même temps.

par contre pour h supérieur à 10 ou 20 m, la boule de pétanque touche le sol en premier, H valant plusieurs dizaines de cm.

 



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