Aurélie juin 2001


devoirs en terminale S

décharge d'un condensateur bac 06/01




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1

 

 

étude de courbes

Le montage ci-contre permet d'étudier l'évolution de la tension uc aux bornes d'un condensateur de capacité C en série avec une résistance R. Le commutateur (interrupteur à plusieurs positions) a deux positions possibles repérées par 1 et 2. Une interface, reliée à un ordinateur, permet de saisir les valeurs instantanées de cette tension uc. Initialement, le commutateur est depuis longtemps en position 2 et le condensateur est déchargé. Donnée : E = 5,0 V

 

 

1. Dès lors, comment faut-il manipuler le commutateur pour obtenir la courbe ci-dessous donnant l'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur en fonction du temps ?

 

 

2. En respectant les conventions d'orientations du schéma du circuit :

  • préciser le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge ;
  • écrire la relation entre l'intensité i du courant et la tension uR ;
  • écrire la relation entre la charge q de l'armature A du condensateur et la tension uC ;
  • écrire la relation entre l'intensité i et la charge q ;
  • écrire la relation entre les tensions uR et uC lors de la décharge.
  • En déduire que, lors de la décharge, l'équation différentielle vérifiée par la tension uC est de la forme :

 

  • Identifier le rapport . 1/ a
  • Ce rapport est appelé constante de temps du dipôle RC. En recherchant son unité, justifier cette appellation.

3. La solution de l'équation différentielle précédemment établie est de la forme : uC=E exp (-at). La tension uC est exprimée en volts. Etablir l'expression du logarithme népérien de sa valeur, notée ln uC. On rappelle que ln ab = ln a + ln b ; ln ax = x. ln a ; ln e = 1.

  • On a tracé, à l'aide d'un logiciel, la courbe représentant ln uC en fonction du temps

 

 

  • Montrer que l'allure de cette courbe est en accord avec l'expression obtenue.
  • Avec laquelle des trois valeurs proposées pour la constante de temps , les résultats de la modélisation vous semblent-ils en accord ? 0,46 ms ; 2,2 ms ; 22 ms

4. Le logiciel permet de créer deux nouvelles grandeurs : p=100Uc/E et n = at

p = 100 représentant le pourcentage de charge restant à la date t

n = = représentant la durée de la décharge en unités de constante de temps (c'est à dire quant t = t , n = 1; t = 2t, n = 2, etc ...).

La courbe ci-dessous représente p en fonction de n.

Pour n = 1, déterminer graphiquement le pourcentage de charge restante.

. Pour quelle valeur de n, la décharge peut-elle être considérée comme terminée ?

Quelle est la durée minimale pendant laquelle le commutateur doit rester dans la position convenable pour que la charge du condensateur puisse être considérée comme totale ?




corrigé



Le condensateur étant initialement déchargé il faut mettre le commutateur en position 1 pour charger le condensateur, puis le mettre sur la position 2 pour le décharger et obtenir la courbe du document 1.

le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge est négatif, en sens contraire au sens du courant de charge symbolysé sur le schéma.

La tension aux bornes d'un résistor et l'intensité du courant sont proportionelles : UR=Ri

La tension aux bornes du condensateur et la charge de l'armature qA sont proportionnelles : q=CUC.

l'intensité est telle que : i= dq / dt = q' = CU'C.

résistor et condensateur en série : UR + UC=0

Ri + UC= RC U'C +UC=0 avec 1/a = RC ou a = 1/(RC)

R est une tension (volt) divisée par une intensité (ampère)

C capacité (farad) = charge q (coulomb) divisée par une tension (volt)

charge (coulomb) = intensité (ampère) fois temps (seconde)

donc RC est homogène à : [V] [A]-1 [A] [s] [V]-1= [s]


uC=E exp (-at)

ln uC = ln E -at =ln 5 -at =1,61 -at

droite de pente -a, d 'oordonnée à l'origine 1,61 ,en accord avec le graphe.

coefficient directeur = -45,5 ms-1 d'où RC= 1/ 45,5 = 0,022 s = 22 ms


Par lecture graphique, p = 36%

La décharge peut être considérée comme terminée pour n= 5, c'est-à-dire quand t = 5 fois la constante de temps.

Puisqu'il faut 5t pour que le condensateur soit déchargé, il faut une durée égale à 5t pour charger le condensateur.




à suivre ...

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