Aurélie 09/02

ondes stationnaires



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Un fil métallique non ferreux, de longueur L = 60 cm, appelé "corde" dans le reste de l'énoncé, est tendu entre les points A et B. Entre ces points, on applique une tension sinusoïdale uAB de fréquence f. Un courant de même fréquence circule alors dans la corde. Un aimant droit fixe est placé derrière la corde (voir schéma). Celle-ci est localement soumise à une force magnétique verticale due à la circulation du courant et à la présence de l.aimant. On admettra que :

- les vibrations transversales ainsi imposées à la corde sont de nature sinusoïdale et qu'elles ont la même fréquence que la tension uAB ;

- les fréquences des vibrations, du courant et de la tension uAB sont les mêmes.

  1. La tension uAB a une fréquence f1 égale à 100 Hz et la corde est éclairée par la lumière du jour. Á cause de la persistance rétinienne, on voit deux fuseaux comme le montre la figure ci-dessous (dispositif vu de face, sans représentation de l'aimant)

    - Quel est l'état vibratoire du point C ? Quel nom donne-t-on à ce point de la corde dans cette expérience ?
    - Décrire qualitativement le mouvement d'un point de la corde situé à égale distance de A et de C. Comment nomme-t-on son état vibratoire ?
    - Déterminer la longueur d'onde l de l'onde stationnaire ainsi générée.
    - Déterminer sa célérité v.
    - Parmi les positions de l'aimant définies par les valeurs de d ci-après, laquelle paraît-il souhaitable d'adopter pour obtenir ces deux fuseaux de manière bien visible ? La réponse doit être justifiée. Valeurs de d proposées : 15 cm, 30 cm ou 45 cm.

  2. Déterminer la fréquence f0 de la tension uAB qui permettrait d'obtenir un système d'ondes stationnaires ne présentant qu'un seul fuseau, la longueur et la tension de la corde restant inchangées. Quel nom particulier donne-t-on à ce mode de vibration ?
  3. On supprime la tension uAB et l'aimant. La corde, horizontale, garde une longueur et une tension identiques à celles de la partie précédente. On dispose également d'une boîte en bois parallélépipédique dont une grande face est percée d'un orifice circulaire. La boîte est disposée horizontalement sous la corde. Le milieu de la corde se trouve au-dessus de l'orifice circulaire. La corde est mise en vibration par pincement en son centre, on perçoit alors un son d'une hauteur de

    50 Hz.
    - Expliquer pourquoi on peut entendre un son avec ce nouveau dispositif.
    - On réalise l'analyse spectrale de ce son sur un intervalle de fréquences f tel que 20 Hz < f < 300 Hz.. Qu'appelle-t-on "fréquence fondamentale" d'un son, quelle est sa valeur ici ?
    - Quelles sont les fréquences des harmoniques qui sont susceptibles de se trouver dans l'analyse spectrale de ce son ?
    - Parmi les harmoniques attendus, le spectre montre la quasi-absence des harmoniques defréquence 100 Hz et 200 Hz. Proposer une explication de cette particularité du spectre en raisonnant à partir de la manière dont la corde a été mise en vibration.

corrigé
Le point C reste immobile, il ne vibre pas. On appelle ce point un "noeud" de vibration.

Ce point situé à mi-distance entre A et C, se déplace dans un plan vertical, de part et d'autre de sa position d'équilibre, sur une trajectoire rectiligne. Cet état vibratoire est désigné comme un "ventre" de vibration.

La corde montre l'établissement de deux fuseaux. Les modes de vibration sont définis par la relation :

2L = n l .

Le mode de vibration observé correspond à n = 2.

D'où = L = 60 cm

On utilise la relation l = vT = v/f1

v = l f1 =0,6 *100 == 60 m./s.

Il est plus judicieux de placer l'aimant là où l'on souhaite installer un ventre de vibration.

Soit, ici, à 15 cm de A ou bien à 45 cm de A.

On utilise la relation de quantification des modes :

2L = n l avec n = 1. On a alors l = v/f0.

v conservant sa valeur car la corde est restée la même, elle a la même longueur et la même tension.

D'où f0 = v/(2L) = 50 Hz. C'est le mode fondamental.

Pour que le son émis soit audible, il faut d'une part que sa fréquence soit comprise dans la bande passante de

l'oreille, d'autre part que l'instrument provoque des vibrations de l'air d'amplitude suffisante. C'est le rôle de la caisse de résonance d'amplifier les vibrations sonores. Les vibrations des parois de la boîte sont transmises à l'air et permettent l'audition.

La fréquence fondamentale d'un son correspond à sa hauteur, soit ici 50 Hz.

. La fréquence fondamentale est la plus petite du spectre. Les fréquences des harmoniques sont toutes des multiples entiers de la fréquence fondamentale. Soit dans l'intervalle d'étude :

50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz, 250 Hz.

Les différents harmoniques correspondent chacun à un mode propre de la corde dont les fréquences sont obtenues par la relation :

f = nv/(2L)

La corde étant pincée en son centre, on va favoriser la formation d'un ventre de vibration au centre de la corde. Les valeurs impaires de n sont donc favorisées par cette mise en vibration. Ce qui favorise la présence des fréquences 50 Hz, 150 Hz et 250 Hz.

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