physique chimie ( d'après concours 2000) Etude d'un pendule simple

Le pendule est constitué d'un objet ponctuel M de masse m, accroché par l'intermédiaire d'un fil rigide au point O fixe. On suppose le fil rigide sans masse. L'ensemble est plongé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. On écarte le fil de sa position d'équilibre d'un angle q(t=0) = q0 et on le lâche sans vitesse initiale. OM=l=1,0 m

Enoncé du théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel :

Le référentiel d'étude étant galiléen :

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel M par rapport au point fixe O est égal au moment, par rapport à ce point, de la somme vectorielle des forces agissant sur le point matériel M .

La masse m est soumise à deux forces : la tension du fil et son poids.

(1) : j'exprime le moment cinétique

(2) Le moment, par rapport à O, de la tension est nul : cette force rencontre le point O.

(3) : j'exprime le moment en O du poids.

(4) : j'applique le théorème du moment cinétique

(4) montre que la trajectoire du point M est plane, celui de la figure.

(4) donne l'équation différentielle vérifiée par l'angle q(t) en fonction du temps : q " + g/l sin q = 0

Dans le cas des faibles amplitudes angulaires, on peut confondre sin q et l'angle q exprimé en radian.

D'où : q " + g/l q = 0

Expression de la pulsation w₀ du mouvement : w₀ = (g/l)^½.

valeur de g :

On mesure pour 20 périodes une durée de 40,12 s. T₀ = 40,12 / 20 = 2,006 s

Or w₀ = 2p/T₀ =6,28 / 2,006 = 3,13 rad/s.  g=w₀ ²l = 9,80 m s^-2.

On se place dans le cas d'oscillations d'amplitude plus importante. On désigne par E_m l'énergie mécanique, E_p l'énergie potentielle et E_c l'énergie cinétique du pendule.

Expressions des énergies cinétique et potentielle en fonction de m, g, l , q et dq/dt = q '. On prend l'origine de l'énergie potentielle pour q = 0.

E_c = ½mv² = ½m(lq ')².

E_p = mgl(1-cosq)
E_m= ½m(lq ')² + mgl(1-cosq)

Equation de la trajectoire dans le plan de phase du point P de coordonées q (t) et y = 1/w₀dq/dt :

E_m= ml [½ l q '² +g (1-cosq)] ; 2E_m/( ml )= l q '² +2g (1-cosq)

2E_m/( mg l ) =l /g q '² +2 (1-cosq)

or w₀ = (g/l)^½ ; 2E_m/( mg l ) = (q '/w₀ ) ² +2 (1-cosq)

y² + 2(1-cosq) = 2E_m/ (mgl).

L'allure générale du portrait de phase de cette équation est donnée ci-dessous :

Les trajectoires de phase 7 et 8 correspondant à E_m<2mgl.
Les points A correspondent à un équilibre instable.
Les courbes 7 et 8 correspondent à un mouvement oscillatoire périodique autour d'une position d'équilibre stable.

Les courbes 1 à 4 correspondent à un mouvement de révolution.