Découverte d'une exo-planète habitable : gravitation, kepler, physique quantique bac S Liban 2008. d'après http://www.cpf.edu.lb/ et http://grespliban.freehostia.com/index.html

Une planète " de type terrestre habitable", capable d'abriter une vie extra-terrestre, a été détactée pour la première fois hors de notre système solaire par une équipe d'astronomes européens. Cette exo-planète, nommée Gliese c, qui orbite autour de l'étoile Gliese 581 à 20,5 années lumière est la première et la plus légère des quelques 200 connues à ce jour à posséder à la fois une surface solide ou liquide et une température proche de celle de la terre, selon ses découvreurs. ( auteur de l'étude : Stéphane Udry Genève). La température moyenne de cette super Terre est comprise entre 0 et 40 °C, ce qui autorise la présence d'eau liquide à sa surface. Source : Dépèche AFP/cab d'après communiqué de presse du CNRS avril 2007. Dans tout l'exercice, l'étoile Gliese 581 est notée E et son exo-planète est notée C. Données : caractéristiques de la planète C : valeur du champ de gravitation à sa surface g0 = 22 N / kg. Masse estimée MC= 3,0 1025 kg. Rayon estimé RC=9,6 106 m ; 1 U.A = 1,50 1011 m. Constante de Plank : h = 6,626 10-34 Js ; c = 3,00 108 m/s ; 1 eV = 1,6 10-19 J. Première partie : cette étude se fera dans un référentiel galiléen lié au centre de la planète C. Etude de la gravitation à la surface de la planète C.  Représenter sur un schéma la force de gravitation F exercée par la planète C de masse MC, de rayon RC sur un objet A de masse m situé à l'altitude h. Donner l'expression de cette force en fonction de MC, m, RC, h et de la constante de gravitation universelle G.   La valeur g du champ de gravitation est défini par g = F/m. En déduire l'expression de la valeur g0 du champ de gravitation à la surface de la planète C en fonction de MC, RC et G. Valeur de F : F = GMCm/(RC+h)2 ; g=F/m = GMC/(RC+h)2 ; A la surface de la planète h=0 d'où g0 = GMC / RC2. Vitesse d'un satellite de la planète C. Déterminer l'expression de la valeur v1 de la vitesse de l'objet A de masse m satellisé sur une orbite circulaire à l'altitude h. Ecrire la seconde loi de Newton dans le référentiel galiléen  lié au centre de la planète. Dans l'hypothèse d'un mouvement uniforme l'accélération est centripète de valeur a= v12/(RC+h). Montrer que si h est négligeable devant RC, v1 = [GMC/RC]½. Si h << RC alors RC+h~ RC d'où v1 = [GMC/RC]½. On appelle vitesse de libération la valeur minimale de la vitesse que doit posséder un objet A situé à la surface d'une planète pour quitter le champ de gravitation de celle-ci. Pour la planète C, cette vitesse v2 a pour expression : v2 = [2GMC/RC]½. Pour une autre planète de masse M donnée, la vitesse de libération augmente t-elle ou diminue t-elle avec le rayon de la planète ? Justifier. La vitesse de libération est inversement proportionnelle à R½ : la vitesse de libération diminue donc si le rayon de la planète augmente ( la masse M étant constante). Cette vitesse de libération est en relation directe avec l'existence d'une atmosphère à la surface de la planète : à une temprérature donnée, si la vitesse de libération est trop faible, les molécules de gaz s'échappent facilement et l'existence d'une atmosphère à la surface de la planète est impossible. Montrer que v2 peut s'écrire : v2 = [2g0RC]½. D'une part g0 = GMC / RC2 soit : GMC= g0RC2 repport dans l'expression de v2 : v2 = [2GMC/RC]½ = [2g0RC]½ Calculer la vitesse de libération pour la planète C et la comparer à celle de la terre qui est de 11,2 km/s. v2 =[2*22*9,6 106]½ =20,5 103 m/s = 20,5 km/s ~ 21 km/s. Si l'on suppose que la terre et la planète C sont soumises à des conditions de température très voisines, l'existence d'une atmosphère sur la planète C est-elle possible ? v2 est supérieure à la vitesse de libération de la terre : la présence d'une atmosphère sur la planète C est donc possible.   Web www.chimix.com Deuxième partie : cette étude se fera dans un référentiel galiléen lié au centre de l'étoile E. L'étoile E possède trois planètes actuellement identifiées : Gliese b notée B, Gliese c notée C et Gliese D notée D. On considère que ces planètes se déplacent sur des orbites quasiment circulaires. Le tableau ci-dessous regroupe quelques caractéristiques de ces planètes : B C D période (jours) Tb=5,366 Tc=12,93 Td=84,4 rayon trajectoire ( U.A) rb rc=7,27 10-2 rd=0,254 La vitesse V d'une planète en mouvement circulaire autour de son étoile est donnée par la relation V=[GM/r]½, r désignant le rayon de la trajectoire. Donner la signification de la lettre M intervenant dans cette relation. M est la masse de l'astre ( étoile) centrale. Enoncer la 3è loi de Kepler, relative à la période de révolution de la planète autour de son étoile. T2/r3 = 4p2/(MG)= Constante. Calculer la valeur de la constante de proportionnalité intervenant dans cette loi. ( utiliser le jour comme unité de temps et l'U.A comme unité de distance) B C D période (jours) Tb=5,366 Tc=12,93 Td=84,4 rayon trajectoire ( U.A) rb rc=7,27 10-2 rd=0,254 période au carrée ( jour2) 5,3662=28,794 12,932 =167,18 84,42 =7123,36 rayon trajectoire au cube ( U.A3) (7,27 10-2)3=3,84 10-4 0,2543=1,638 10-2 T2/r3 4,35 105 j2 UA-3 Calculer en unité astronomique le rayon de la trajectoire de la planète B. rb3 = Tb2/4,35 105 = 28/794/4,35 105 =6,619 10-5. prendre la racine cubique. rb=4,0451 10-2 ~ 4,05 10-2 U.A. Détection de l'eau dans l'atmosphère des planètes. L'énergie de vibration des molécules est quantifiée. Pour les molécules d'eau, en prenant pour référence l'énergie de la molécule au repos, on obtient les niveaux d'énergie de vibrations représentés sur la figure ci-dessous : Le spectre d'une lumière ayant traversée une région contenant de la vapeur d'eau présente des absorptions pour certaines longueurs d'onde caractéristiques. Que signifie l'expression " l'énergie des molécules est quantifiée ". Toutes les valeurs de l'énergie ne sont pas possibles : l'énergie ne peut prendre qu'un petit nombre de valeurs. Les longueurs d'onde des radiations absorbées sont supérieures au micromètre. Ces radiations absorbées appartiennent-elles au domaine visible ? Justifier. Dans le vide, les longueurs d'ondes du spectre visible sont comprises entre 0,4 mm et 0,8 mm : des radiations de longueurs d'onde supérieures au micromètre n'appartiennent pas au domaine visible. Calculer la longueur d'onde de la radiation absorbée par une molécule d'eau passant de l'état fondamental à l'état E1. E= hc/l soit l = hc/E avec E= 0,20-0 = 0,20 eV = 0,2*1,6 10-19 =  3,2 10-20 J. l = 6,626 10-34 * 3,00 108 / 3,2 10-20 =6,21 10-6 m ~ 6,2 mm.

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