Energie d'un pendule simple : concours orthoptie ( Nantes 2008)

Un pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle m, accrochée à un fil de longueur L à un point fixe O. Le pendule pesant est lâché sans vitesse initiale depuis un angle q0. On note v la norme du vecteur vitesse. Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. Tracer les forces s'exerçant sur la masse m. Poids et tension du fil T. Le vecteur accélération s'écrit : a = dv/dt t + v2/L n. Rappeler le vecteur accélération pour un mouvement circulaire uniforme. Justifier la différence. Dans un mouvement uniforme, la norme du vecteur vitesse est constante ; en conséquence dv/dt =0 et a =0 t + v2/L n = v2/L n. Exprimer v en fonction de L et dq/dt, puis dv/dt en fonction de d2q/dt2, et L. v = L dq/dt ; dériver par rapport au temps : dv/dt = L d2q/dt2. Ecrire les deux équations obtenues par projection de la relation fondamentale de la dynamique. mg + T = ma s'écrit en projection sur : n : T - mg cos q =mv2/L. t : 0 - mg sin q = m dv/dt. Montrer que q satisfait à une équation de la forme d2q/dt2 + w2 sin q =0. En déduire la période des petites oscillations du pendule. - mg sin q = m dv/dt = m L d2q/dt2 ; L d2q/dt2 +g sin q =0 On pose w2 = g/L d'où d2q/dt2 + w2 sin q =0. Pour les angles petits on peut confondre sin q avec q radian. d2q/dt2 + w2 q =0, équation différentielle d'un oscillateur harmonique de période T = 2p/w = 2p(L/g)½. Déterminer T en fonction de m, g, v, L et q. T - mg cos q =mv2/L ; T = m[ v2/L + g cos q ].   Déterminer l'énergie mécanique du pendule en fonction de m, g, L et q0. A la position initiale, la vitesse est nulle, l'énergie mécanique est sous forme potentielle de pesanteur. On choisit l'origine des altitudes à la position d'équilibre. EM= mg L (1-cos q0 ). En déduire l'énergie cinétique de m pour un angle q quelconque en fonction de m, g, L, q0 et q. Energie mécanique pour un angle q quelconque : EM= mg L (1-cos q ) + Ec. En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve : mg L (1-cos q ) + Ec = mg L (1-cos q0 ) Ec =mg L (cos q - cos q0 ). Montrer que T s'écrit : T = mg(3 cosq - 2 cosq0). Ec =mg L (cos q - cos q0 ) = ½mv2 ; v2 / L = 2g (cos q - cos q0 ). Or T= m[ v2/L + g cos q ] d'où T = 2mg (cos q - cos q0 ) + mg cos q . T = mg(3 cosq - 2 cosq0).  Une poulie placée en O permet à un opérateur de modifier la longueur du pendule. La force exercée par l'opérateur est égale à la tension du fil T = Fop. Lors de la première oscillation on pourra utiliser l'expression de la tension trouvée ci-dessus. Au premier passage à la verticale, la longueur du pendule est réduite de a ( a faible devant L) Déterminer le travail effectué par l'opérateur. pour q = 0, expression de la tension : T = mg(3 cosq - 2 cosq0) = mg(3 - 2 cosq0). Le déplacement et la force ont même sens et même direction : W = Fop a = mg(3 - 2 cosq0) a. Pour q = -q0, la longueur est augmentée de a. Déterminer le travail effectué par l'opérateur. pour q = -q0, expression de la tension : T = mg(3 cosq - 2 cosq0) = mg cosq0. Le déplacement et la force ont la même direction mais sont de sens contraire : W = - Fop a = -mg cosq0 a. Au deuxième passage à la verticale, la longueur du pendule est à nouveau réduite de a. Puis lorsque q = +q0, la longueur est augmentée de a. Déterminer le travail total effectué par l'opérateur au cours d'une oscillation. A chaque fois que l'opérateur tire sur la corde, il effectue le travail : mg(3 - 2 cosq0) a. A chaque fois qu'il allonge la corde, il effectue le travail : -mg cosq0 a. Wtotal = 2mg a ( 3 - 3cosq0) = 6 m g a (1 -cosq0). Déterminer l'énergie mécanique du pendule après une oscillation. L'énergie mécanique du pendule augmente de la valeur du travail de l'opérateur. EM 1 = EM+ 6 m g a (1 -cosq0) = mg L (1-cos q0 )+ 6 m g a (1 -cosq0). EM 1 =mg (1 -cosq0) (L + 6 a). Soit q1 ( angle maximum atteint après la première oscillation), établir l'équation reliant q0 et q1. mg (1 -cosq0) (L + 6 a) = mg L(1 -cosq1) (1 -cosq0) (L + 6 a) = L(1 -cosq1) ; 6 a -cosq0 (L + 6 a) = -Lcosq1. cosq1= cosq0 (1 + 6 a/L)- 6a/L. Si a <<L, 1+6a/L ~ 1 et cosq1= cosq0- 6a/L. Que se produit-il lorsqu'on renouvelle l'opération ? cosq1- cosq0= - 6a/L donc q1> q0. A chaque période l'amplitude angulaire augmente. Proposer un mode opératoire analogue permettant de freiner le pendule. Allonger le fil lorsque q = 0 et le racourcir lorsque q = + ou - q0.

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