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Circuit RL: tensions continue et alternative, filtre, Bode |
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Y a-t-il continuité de la tension s(t) à t=0 ? Y a-t-il continuité du courant dans la résistance R en t=0 ? Commenter physiquement les réponses. En déduire le comportement de s(t) au voisinage de t = 0+. Déterminer le comportement asymptotique de s(t) lorsque t tend vers l'infini. Peut-on à priori affirmer la continuité de certaines grandeurs électriques ( autres que celles étudiées ci-dessus ) en t=0 ? Justifier. La continuité de l'énergie électromagnétique ( ½Li12) dans la bobine, impose la continuité de l'intensité i1 du courant dans la bobine. A t = 0-, les intensités i, i1 et i2 sont nulles. s(t=0-) = ½Ri2 = 0. A t = 0+, i1 = 0, la bobine introduit un retard à l'établissement du courant. (4) conduit à i = i2 ; soit s(t = 0+) = ½Ri Additivité des tensions E = Ri + s(t = 0+) = Ri+½Ri ; i(t = 0+) = 2E / (3R). Par suite s(t = 0+) = ½Ri(t = 0+) ; s(t = 0+) = E / 3. Il y a discontinuité de la tension s(t) à t=0. i2(t=0-) = i (t=0-) =0 ; i2(t=0+) = i (t=0+) = 2E / (3R). Il y a discontinuité des intensités des courants i et i2 à t=0. Quand le temps devient très grand, l'intensité du courant dans la bobine est constant ; sa dérivée par rapport au temps est nulle : d'après (2) s (t) tend vers 0 au bout d'un temps suffisamment long.
(1) et (3) donnent : E-Ri = ½R i2 ; i2 = 2E/R -2i repport dans (4) : i = i1 + 2E/R -2i ; 3 i = i1 + 2E/R ; différentier par rapport au temps : 3 di/dt = di1/dt ; tenir compte de (2) : 3L di/dt =s(t) Différentier (1) par rapport au temps : -Rdi/dt = ds(t) / dt soit :
La solution de l'équation différentielle est du type s(t) = A exp(-t/ t ) . La constante A est déterminée par les conditions initiales s(t=0+) = E/3. s(t) = E/3 exp(-t/ t ) .
Exprimer en fonction de L et R le temps t0 au bout duquel s(t0) =0,1. s(t=0+). En déduire une méthode expérimentale pour déterminer t0 à l'oscilloscope. On précisera le montage électrique à réaliser et la mesure à effectuer concrètement. 0,1 E/3 = E/3 exp(-t0/t) ; ln 0,1 =-ln 10 = -t0/t ; t0 = t ln10 ; t0 = 3L ln10 /R. Brancher un oscilloscope à mémoire aux bornes de la bobine inductive. On mesure expérimentalement t0 = 3 microsecondes. On donne R= 1000 ohms. En déduire L.
Quel doit être l'ordre de grandeur de la fréquence du générateur pour que l'on puisse effectivement mesurer t0, en utilisant la méthode indiquée, à l'oscilloscope ? La période du signal du GBF doit être un peu supérieure à t0 ; La fréquence doit donc être un peu inférieure à 1/t0. 1/310-6 ~3 105 Hz.
Etude en régime sinusoïdal : On remplace le générateur précédent par un générateur sinusoïdal de féquence f et de tension efficace E, l'interrupteur étant fermé. On associe à la grandeur u(t) = U cos ( wt+j), la grandeur complexe u= U exp(j(wt+j)) avec w = 2pf. Comment se comporte le circuit en hautes et basses fréquences ? Quel est la nature du filtre que constitue le circuit ? Filtre passe haut. Etablir la fonction de transfert en notation complexe H = s / e. Mettre le résultat sous la forme H0 / (1+f0/jf) Exprimer H0 et f0 en fonction de L et R. On note Z l'impédance complexe de la portion de circuit ½R et L en dérivation.
H0 = 1/3 et w0 = R/(3L) et w = 2pf.
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