Fermentation du glucose : solution tampon, catalyse enzymatique, chimie concours Mines 08

Aurélie 25/1/09

Fermentation du glucose : solution tampon, catalyse enzymatique, chimie concours Mines 08

Préparation du tampon phosphate.
On désire préparer une solution tampon de pH égal à 6,2 et de concentration totale en phosphore égale à c = 0,10 mol.L^-1. Pour cela, on utilise du dihydrogénophosphate de sodium hydraté NaH₂PO₄, 12 H₂O (masse molaire M₁ = 336 g.mol^-1). Dans une fiole jaugée de volume V = 1,0 L, on verse de l’eau distillée puis on introduit une masse m₁ de dihydrogénophosphate de sodium hydraté, on mélange. On ajoute une masse m₂ d’hydroxyde de sodium NaOH (masse molaire M₂ = 40 g.mol^-1) et l’on complète au trait de jauge avec de l’eau distillée.

Calculer la quantité m₁ à introduire pour obtenir une solution de concentration totale en phosphore égale à c = 0,10 mol.L^-1.

m₁ = 336*0,1 = 33,6 g.

Quelles sont les espèces de H₃PO₄ présentes dans la solution tampon à ce pH ? Justifier.

à pH = 6,2, H₂PO₄^- et HPO₄^2- prédominent.

Écrire l’équation de la réaction qui se produit lorsqu’on ajoute l’hydroxyde de sodium. Calculer sa constante et conclure.

Couples acide / base : H₂PO₄^- / HPO₄^2-; H₂O / HO^-.

H₂PO₄^- + HO^- = HPO₄^2-+H₂O avec K = [HPO₄^2-] /([H₂PO₄^-] [HO^-])

Or : K_a2= 10^-7,2 = [HPO₄^2-] [H₃O⁺] / [H₂PO₄^-] et K_e =[H₃O⁺] [HO^-] = 10^-14.

par suite K = K_a2/K_e =10^-7,2 /10^-14 = 10^6,8 = 6,3 10⁶, valeur importante, la réaction est totale.

Exprimer les concentrations en H₂PO₄^- et HPO₄^2- en fonction des quantités de matière n₁ et n₂ en H₂PO₄ et NaOH respectivement introduites et du volume V.

n₁ = m₁ / M₁ V = 0,1 mol ; n₂ = m₂ / M₂ V = m₂ / M₂ ;

avancement (mol) H₂PO₄^- + HO^- = HPO₄^2- +H₂O

initial 0 n₁ n₂ 0 solvant en large excès

fin x n₁-x n₂ -x x

l'hydroxyde de sodium est en défaut : n₂ -x = 0 ; x = n₂

[HPO₄^2-] = n₂ / V ; [H₂PO₄^- ] =(n₁-n₂ )/ V

Exprimer le pH de la solution en fonction de n₁, n₂ et de la (des) constante(s) d’acidité concernée(s).

K_a2= 10^-7,2 = [HPO₄^2-] [H₃O⁺] / [H₂PO₄^-] = n₂[H₃O⁺]/ (n₁-n₂ )

log K_a2= log [H₃O⁺] + log ( n₂ / (n₁-n₂ )) ; pK_a2=pH - log ( n₂ / (n₁-n₂ )) ; pH = pK_a2+log ( n₂ / (n₁-n₂ )).

En déduire les valeurs de n₂ puis de m₂ à ajouter pour obtenir un pH égal à 6,2.

6,2= 7,2 + log(n₂/(0,1-n₂)) ; 1= log((0,1-n₂)/n₂) ; 10 = (0,1-n₂)/n₂ ; n₂ = 0,1/11 =9,1 10^-3 mol.

m₂ = M₂ n₂ = 40 * 9,1 10^-3 = 0,36 g.

Étude théorique de la catalyse enzymatique.

Le mécanisme de réaction avec l’action de la levure peut être modélisé par la catalyse enzymatique. On considère la réaction S (substrat) = P (produit) catalysée par l’enzyme E et on admet que le mécanisme est le suivant :

L’espèce notée ES est appelé complexe enzyme substrat.

D’après le mécanisme proposé ci-dessus, exprimer v, la vitesse de formation du produit P.

v d[P]/dt = k₂ [ES]

En notant [E]₀ la valeur initiale de la concentration en enzyme, écrire l’équation traduisant la conservation totale de l’enzyme au cours de la réaction.

[E]₀ = [E] + [ES]

Appliquer l’approximation des états quasi-stationnaires au complexe enzyme-substrat. En utilisant la question précédente, en déduire une expression de la concentration en complexe enzyme substrat en fonction de [E]₀, [S] et des constantes.

d[ES]/dt = k₁[S][E]-k_-1[ES]- k₂ [ES] =0 ; [E] =(k_-1 +k₂ ) [ES] / ( k₁[S] )

[E]₀ = [E] + [ES] conduit à : [E]₀ =(k_-1 +k₂ ) [ES] / ( k₁[S] ) + [ES] = ((k_-1 +k₂ )/ ( k₁[S] ) +1) [ES]

[ES] =[E]₀ / ((k_-1 +k₂ )/ ( k₁[S] ) +1).

On appelle constante de Michaelis et on note K_M, l’expression K_M=(k_-1 +k₂ )/k₁.

Exprimer alors v en fonction de [E]₀, K_M, k₂ et [S].

[ES] =[E]₀ / (K_M/ [S] +1) ; v = k₂[ES] =k₂[E]₀ / (K_M/ [S] +1).

Si la concentration en substrat augmente (à concentration initiale en enzyme constante), [S] devient bien supérieur à K_M ; l’expression de la vitesse tend vers

k₂[E]₀. C'est la vitesse maximale, v_max =k₂[E]₀.

L’expression de la vitesse obtenue ci-dessus permet de construire deux modèles. Ces modèles permettent de tracer des courbes qui deviennent des droites lorsqu’ils sont validés.

Exprimer 1/v et montrer qu’en traçant 1/v en fonction de 1/[S], on peut valider le modèle.

1/v =K_M/(k₂[E]₀) * 1/[S] +1/(k₂[E]₀) ; 1/v = K_M/v_max *1/[S] + 1/v_max;

il s'agit de l'équation d'une droite de pente K_M/v_maxet d'ordonnée à l'origine 1/v_max.

Monter que l’expression de la vitesse peut se mettre sous la forme : v=v_max-K_Mv /[S]. Montrer alors qu’en traçant v en fonction de v/ [S], on peut également valider le modèle.

v = k₂[E]₀ / (K_M/ [S] +1) =v_max /(K_M/ [S] +1) ; v(K_M/ [S] +1) =v_max.

v +K_Mv / [S]=v_max ; v =v_max -K_Mv / [S].

v = f(v / [S]) : droite de pente -K_M et d'ordonnée à l'origine v_max.

Étude expérimentale.

La méthode utilisée consiste à étudier différents systèmes en faisant varier la quantité initiale de substrat (ici le glucose) et en déterminant les vitesses initiales d’apparition du produit (ici l’éthanol gazeux).

Comment détermine-t-on pratiquement, la vitesse initiale de la réaction étudiée ici ?

Tracer la courbe d'équation [ éthanol] en fonction du temps ; le coefficient directeur de la tangente à t=0 est égal à la vitesse initiale.

On a réalisé la conversion du glucose à 39 °C et obtenu les résultats suivants :

v₀(mmol L^-1 s^-1) 1,80 2,50 3,20 4,00 4,50 5,00

c₀( glucose mmol L^-1) 10,0 20,0 30,0 60,0 90,0 150

1/v₀(mol^-1 L s) 556 400 313 250 222 200

1/c₀( glucose mol^-1 L) 100 50,0 33,3 16,7 11,1 6,67

v₀ /c₀(s^-1) 0,18 0,125 0,107 0,0667 0,05 0,033

Les deux courbes obtenues sont données ci-dessous.

À partir de la première méthode, déterminer les valeurs de K_M et v_max à 39 °C pour cette réaction.

v_max = 1/185 = 5,4 10^-3 mol L^-1 s^-1 ; K_M =3,83 v_max =3,83*5,4 10^-3 =2,1 10^-2 mol L^-1.

À partir de la deuxième méthode, déterminer les valeurs de K_M et v_max à 39 °C.

v_max = 5,57 mmol L^-1 s^-1 = 5,57 10^-3 mol L^-1 s^-1 ; K_M =22,1 mmol L^-1 =2,1 10^-2 mol L^-1.

Les résultats des deux méthodes sont compatibles.

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