Etude expérimentale d'un oscillateur mécanique ( bac S Reunion 2009)

Au cours d'une séance de travaux pratiques des élèves étudient le mouvement, sur une table horizontale, d'un mobile autoporteur de masse m = 0,714 kg relié à deux ressorts à spires non jointives et de masses négligeables. Le mobile est initialement écarté de sa position d'équilibre et lancé avec une vitesse initiale v0. Le mouvement du mobile est filmé par les élèves. Les positions successives du centre d'inertie G du mobile sont repérées par un logiciel de pointage à partir de la date du lancement t0. Elles sont repérées sur un axe horizontal x'x, orienté de gauche à droite. L'origine O de l'axe coïncide avec la position du centre d'inertie G lorsque le mobile est au repos. L'intervalle de temps séparant deux positions successives est t= 80 ms. Le schéma ci-dessous représente, à une date t quelconque, le dispositif expérimental utilisé ainsi que l'axe x'x. On admettra que ce dispositif équipé d'une masse et de deux ressorts est équivalent à celui constitué de la même masse et d'un seul ressort de constante de raideur notée K. Une première exploitation du pointage. Le tableau suivant donne les abscisse xG des positions successives du centre d'inertie du mobile entre les dates t14 et t21. position 14 15 16 17 18 19 20 21 date t (s) 1,12 1,20 1,28 1,36 1,44 1,52 1,60 1,68 abscisse xG ( m) -0,119 -0,112 -0,096 -0,073 -0,046 -0,015 0,017 0,048 En exploitant les données du tableau, un élève calcule la valeur de la vitesse à la date t17 et trouve vG17 = 0,31 m/s. Calculer la valeur de la vitesse vG19 à la date t19. vG19 = (x20-x18) / (2t) = (0,017 + 0,046 ) / (2*0,080) = 0,394 ~ 0,39 m/s. Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. Exprimer le vecteur accélération aG18 du mobile au passage du point G18 en fonction des vecteurs vitesses vG17 et vG19 et de l'intervalle de temps correspondant. Tous ces vecteurs étant colinéaires, vérifier que la valeur de l'accélération à la date t18 est égale à 0,50 m s-2. aG18 = (0,39 -0,31) / 0,16 =0,50 m s-2.  On a représenté dle dispositif équivalent au dispositif expérimental. Sur cette représentation le ressort est comprimé. Les forces de frottements sont supposées négligeables. Représenter les trois forces qui s'exercent sur le mobile autoporteur sans soucis d'échelle. P : poids ; R : action du support ; F : force de rappel. Parmi lzes propositions suivantes choisir l'expression vectorielle dela force de rappel exercée par le ressort sur le mobile en fonction de l'abscisse x du centre d'inertie. La force de rappel est dirigée dans le sens de l'axe et l'abscisse x est négative ( ressort comprimé) : donc proposition 1. En projetant sur l'axe x'x la relation entre vecteurs traduisant la seconde loi de Newton appliquée sur le mobile, établir la relation entre K, m, x et ax. -Kx = m ax ; ax + K/m x = 0 (1) En reprenant les valeurs de l'abscisse et de l'accélération àla date t18, en déduire une estimation de la valeur numérique de la constante de raideur K du ressort équivalent. K = m ax 18 / (-x18 ) = 0,714 *0,50 / 0,046 = 7,76 ~7,8 N m-1. La période propre de l'oscillateur. L'équation horaire du mouvement est de la forme générale : x(t) = Xm cos ( 2pi t / T0 + j0) Nommer les deux grandeurs Xm et j0. Xm : amplitude ( m), valeur positive ; j0 : phase à l'origine ( rad). Justifier par une analyse dimensionnelle l'expression correcte de la période propre : a) T0 = 2 pi [K/m]½ ; b) T0 = 2 pi [K m]½ ; c) T0 = 2 pi [m/K]½. Le second membre doit avoir la dimension d'un temps ; pi est sans dimension : donc l'expression sous le radical doit avoir la dimension dun temps au carré. M : masse [m] = M K : raideur ou force divisée par une longueur ; une force est une masse multipliée par une accélération ; une accélération est une distance divisée par le carré d'un temps, doù : [K]= M T-2 et [m/K] = T2. Les élèves mesurent la période des oscillations et trouvent T0 = 1,88 s. Déduire de cette mesure une nouvelle estimation de la valeur de K. K = 4 pi2 m / T02 = 4*3,142 * 0,714 / 1,882 = 7,98 N m-1. Les conditions initiales et l'énergie mécanique. La figure suivante représente la courbe x = f(t) obtenue par modélisation. x(t) = a cos (b t + c) avec a = 0,120 m ; b = 3,34 rad/s ; c = -0,488 rad. Vérifier à l'aide du résultat de la modèlisation que l'abscisse x du centre d'inertie à la date t=0 est égale à 10,6 cm. x(0) = 0,120 cos (3,34 *0 -0,488 ) = 0,120 cos 0,488 =0,106 m = 10,6 cm. En utilisant le résultat de la modèlisation, montrer que l'expression de la vitesse v en fonction du temps est donnée par : v(t) = -0,401 sin( 3,34 t-0,488) ( m s-1). La vitesse est la dérivée de l'abscisse par rapport au temps : dx/dt = v = -0,120 * 3,34 sin( 3,34 t-0,488) v(t) = -0,401 sin( 3,34 t-0,488). Calculer la valeur de la vitesse initiale v0 communiquée au mobile. Dans quel sens cette vitesse est-elle communiquée ? v(0) = -0,401 sin (-0,488) = +0,188 m s-1. Cette valeur étant positive, la vitesse initiale a le sens de l'axe x'x. Soit Em l'énergie mécanique du système { mobile + ressort }. La masse du ressort est négligeable. Donner l'expression de l'énergie mécanique Em en fonction de K, m x et v. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle ( élastique dans ce cas). Em = ½mv2 + ½Kx2. La valeur de l'énergie mécanique à la date t17 pour laquelle v17 = 0,31 m/s est Em = 5,6 10-2 J. Retrouver la valeur de la constante de raideur K. x17 = -0,073 m ; K =2 [ Em -½mv217 ] / x217 . K =2[5,6 10-2 -0,5*0,714*0,312] / 0,0732 = 8,1 N m-1. L'énergie mécanique se conserve t-elle sur la durée de l'enregistrement ? Cette courbe montre que l'amplitude reste constante au cours du temps : l'énergie mécanique se conserve.

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