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Sur une balançoire : chute libre, corrosion et protection du fer ( bac S Nlle calédonie mars 2009) |
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Pour simplifier l'étude mécanique, le système S1 {Sophie sur le siège, balançoire} peut être modélisé par un pendule simple de longueur L et de masse m1. De même, le système S2 {Pierre sur le siège, balançoire} peut être modélisé par un pendule simple de longueur L et de masse m2 > m1. Toute l'étude mécanique est effectuée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Données : L = 1,80 m ; distance sol-extrémité du pendule à l'équilibre : h = 0,50 m ; intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg-1. Oscillations libres. Cette première partie permet de savoir si l'affirmation suivante de Pierre est correcte : " Je suis plus lourd que toi, je me balancerai donc plus rapidement ". Cette affirmation peut être traduite en langage scientifique par : " la période de mes oscillations sera plus courte ". Dans le cas d'oscillations de faibles amplitudes l'expression de la période propre des oscillations du système S2 est l'une des trois proposées ci-dessous :
En procédant à une analyse dimensionnelle, proposer la seule possible. pi est sans dimension, T est un temps, donc l'expression sous le radical doit être homogène à un temps au carré. (1) m est une masse ; g est une accélération, une longueur divisée par un temps au carré ; [m/g] = M L-1T2. [m/g]½ = M½ L-½T, non homogène à un temps. (2) m est une masse ; L est une longueur ; [m/L] = M L-1. [m/L]½ = M½ L-½, non homogène à un temps. (3): L est une longueur ; g est une accélération, une longueur divisée par un temps au carré ; [L/g] = L L-1T2. [L/g]½ = T, homogène à un temps. En déduire si l'affirmation de Pierre est correcte ou non. L'affirmation est incorrecte : la période est indépendante de la masse. Sophie, assise sur la balançoire, est lâchée à la date t0 = 0, sans vitesse initiale, d'un point A d'abscisse angulaire qA =qm = 50°.
(1) : à t = 0, l'angle q vaut 50° et il n'y a pas d'amortissement. (2) : à t = 0, l'angle q vaut 0° ( ne convient pas).
(3) : à t = 0, l'angle q vaut 25° ( ne convient pas). (4) : amortissement important ( ne convient pas). Mesurer alors la valeur de la période propre T01 du système. 2,8 s.
Lors des oscillations, Sophie procède à une expérience en lâchant une bille de métal pendant le mouvement de façon à ce qu'elle touche le sol loin du point O. Pierre dit : " pour que la bille aille loin du portique, tu dois la lâcher lorsque tu arrives tout en haut ". Sophie répond : " non, la bille ira encore plus loin si je la lâche du point le plus bas car c'est là qu'elle va le plus vite ". Dans toute la suite de l'exercice, on considère que la bille est assimilable à un point matériel de masse m = 30 g, que la position initiale de la bille avant la chute est confondue avec l'extrémité du pendule simple et que le mouvement s'effectue sans frottement. Quelle est la valeur de vA, vitesse de la bille au point A, si l'on considère que Sophie lâche la bille sans lui donner d'impulsion ? Au point le plus haut, l'énergie mécanique du système {bille}est entièrement sous forme potentielle de pesanteur : vA=0. Quelle est la nature du mouvement de la bille après avoir été lâchée du point A ? La bille n'est soumise qu'à son poids : il s'agit d'une chute libre verticale sans vitesse initiale. Déterminer l'abscisse x1 de la bille lorsqu'elle atteint le sol. x1 est égale à l'abscisse du point A : x1 = L sin qm = 1,80 sin 50 = 1,38 m. On étudie maintenant le cas où la bille est lâchée du point B. Au cours du mouvement, l'énergie potentielle de pesanteur de la bille est maximale au point A et vaut EPA = 0,34 J. L'origine des énergies potentielles est choisie à l'altitude du point O tel que z = 0. En appliquant la loi de conservation de l'énergie mécanique entre A et B, donner l'expression littérale de la vitesse vB de la bille et montrer que sa valeur est vB = 3,6 m.s-1. En A, l'énergie mécanique est entièrement sous forme potentielle de pesanteur ; En B, l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur : ½mvB2 + mgh. Seul le poids travaille entre A et B : l'énergie mécanique se conserve : ½mvB2 + mgh = 0,34 vB = [2(0,34/m -gh)]½ = [ 2(0,34/0,03 -9,81*0,5)]½ =3,6 m/s.
Donner les valeurs des coordonnées vBx et vBz du vecteur vitesse. vBx = 3,6 m/s ; vBz= 0 m/s. En utilisant la seconde lui de Newton, donner les coordonnées ax et az du vecteur accélération de la bille au cours de sa chute. La bille n'est soumise qu'à son poids, d'où : ax =0 ; az = -g = -9,81 m s-2. Établir les équations horaires x(t) et z(t) en prenant pour origine des dates l'instant de passage au point B dans le sens indiqué sur la figure. Le vecteur vitesse est une primitive de l'accélération : vx = 3,6 : vy = -gt = -9,81 t. Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse : x = vBxt + xB = vBxt = 3,6 t (1) y = -½gt2 +yB = -½gt2 + h = -4,9 t2 + 0,5.(2) Equation de la trajectoire de la bille : (1) donne t = x/vBx ; repport dans (2) : y = -½g x2/v2Bx +h y = -4,9 /3,62 x2+0,5 =-0,378 x2+0,5 Donner l'expression littérale de l'abscisse x2 de la bille lorsqu'elle atteint le sol et calculer sa valeur. Au sol y=0 : -½g x2/v2Bx +h =0 ; x2 = 2 hv2Bx /g ; x = vBx [2h/g]½ =3,6[2*0,5 /9,81]½ =1,15 m. Comparer x1 et x2 et dire si Sophie a raison dans ce cas d'étude. x2 < x1, Sophie a tord.
Protection du fer. Pour empêcher l'oxydation du fer dans le portique, celui-ci est recouvert d'une couche de zinc métallique. Dans l'industrie, on utilise pour cela diverses techniques en fonction du type de pièces métalliques à protéger. Une de ces techniques est l'électrozingage dont un schéma simplifié est proposé ci-dessous.
G représente un générateur de tension continue. Les lames de fer et de zinc plongent dans une solution aqueuse de sulfate de zinc. Préciser le sens du courant dans la partie métallique du circuit et les signes des bornes du générateur sachant que la lame de fer se recouvre de zinc métallique. Justifier. Les ions zinc Zn2+(aq) se réduisent à la cathode négative. Zn2+(aq) + 2e- = Zn(s). Le métal zinc recouvre le fer.
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