Un jour d'orage : dipôle RC, onde bac S Nouvelle Calédonie 2008.

Parmi les phénomènes athmosphériques, l'éclair est le plus aveuglant et le tonnerre le plus bruyant. Cet exercice a pour but l'étude de ces deux phénomènes étroitement liés. Modélisation de l'éclair nuage-sol. Les nuages sont des cumulonimbus, gros nuages en forme d'enclume ou de hautes tours. Ils sont composés à la fois d'eau et de glace. Lors des orages, le cumulonimbus est fortement chargé électriquement. Globalement, le sommet du nuage est chargé positivement alors que sa base est négative. La partie du nuage qui se trouve en ragard avec la terre étant chargée négativement, le sol se charge positivement par influence. Par temps d'orage, on peut comparer le système {base du nuage - sol} à un gigantesque condensateur constitué par l'air placé entre le bas du nuage et le sol. L'isolant entre les deux armatures est l'air ; dans certaines conditions, il devient localement conducteur. Il s'établit alors un canal ionisé entre le sol et le nuage dans lequal une ou plusieurs décharges se produisent. Ces décharges constituent la foudre. Elles se déplacent à une vitesse considérable et correspondent à une tension U de l'ordre de 100 millions de volt et à une intensité d'environ 30 kiloampères. L'éclair est le phénomène lumineux qui accompagne la foudre. Les gaz, sur le trajet de la décharge électrique sont surchauffés et ionisés, ils émettent alors de la lumière. D'après un texte sur Eduscol- cultureSciences-physiques : quelle est l'origine des orages ? L'éclair nuage-sol peut être modélisé de façon très simple : il correspond à la décharge d'un condensateur géant de capacité C, à travers un fil conducteur, le canal ionisé, matérialisé par un conducteur ohmique de résistance r. Le condensateur est initialement chargé sous une tension continue U positive. A la date t=0, on ferme l'interrupteur K et la décharge débute. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension uC(t) aux bornes du condensateur pendant la décharge s'écrit : duC dt + 1 rC uC =0 Tension aux bornes du conducteur ohmique ur= r i ; de plus i = dq/dt et q= CuC d'où ur= r CduC/dt Additivité des tensions : uC + uR =0 ; uC +r CduC/dt =0. On pose t = rC, constante de temps du circuit. Vérifier par une analyse dimensionnelle que t est homogène à un temps. r : tension / intensité ; C : charge / tension ; charge : intensité * temps. rC : tension intensité * intensité*temps tension soit un temps. Vérifier que l'expression uC(t) = U exp(-t/t) est solution de l'équation différentielle. Dériver uC(t) par rapport au temps : duC/dt = U/ (-t) exp(-t/t) = U/ (-rC) exp(-t/t) Repport dans l'équation différentielle : U exp(-t/t) -rC U/ (-rC) exp(-t/t) =0 Cette égalité est bien vérifiée quel que soit le temps : la fonction proposée est donc solution de l'équation différentielle. Foudre et sécurité. Lors d'une décharge atmosphérique, la foudre peut s'abattre en un point de la terre. L'intensité du courant ainsi généré peut être modélisé par une fonction du temps dont l'expression peut s'écrire : i(t) = -I exp(-t / t) avec I une constante positive. Retrouver l'expression de la fonction i(t) à partir de celle de uC(t). On exprimera I en fonction de U et r. i (t)= dq/dt et q= CuC d'où i(t) = CduC/dt. Dériver uC(t) par rapport au temps : duC/dt = U/ (-t) exp(-t/t) = U/ (-rC) exp(-t/t) Multiplier par C : i(t) = -U/ r exp(-t/t) ; I= U/r. Choisir parmi les courbes suivantes celle qui correspond à i(t). Justifier. courbe A courbe B Courbe A : i(t) = -I exp(-t / t) L'intensité à t=0 est négative ( -30 kA) ; la fonction -I exp(-t/t) est croissante. La courbe B ne convient pas : la valeur initiale de l'intensité est positive ; la fonction proposée est décroissante. Par une méthode de votre choix, déterminer t. On rappelle qu'il faut environ 5t pour que la décharge soit quasi terminée. En déduire une valeur approximative de la durée de la décharge parmi celles proposées 30 microsecondes ; 150 microsecondes ; 6 microsecondes ;. L'énergie mise en jeu lors de la décharge vaut Eél= 5,0 107 J. Donner l'expression littérale de la capacité C du condensateur géant en fonction de U et Eél, puis calculer sa valeur approchée en nanofarad ( nF). Energie stockée par le condensateur : Eél = ½CU2. ( U= 100 millions de volts = 108 V) C = 2 Eél U2 = 10 107 (108)2 = 10-8 F = 10 nF Le tonnerre. La contraction puis la dilatation des masses d'air surchauffé sur le trajet de l'éclair ( le long du canal ionisé) créent une onde de choc qui engendre le bruit appelé "tonnerre". Donner la définition d'une onde mécanique progressive. Propagation d'une perturbation dans un milieu matériel avec transport d'énergie, sans transport de matière. Le tonnerre est-il une onde longitudinale ou une onde transversale ? Justifier. L'onde sonore est onde longitudinale : Propagation d'une variation de pression ayant la même direction que la direction de propagation de l'onde. On rappelle que le domaine des fréquences audibles par l'homme s'étend de 20 Hz à 20 kHz et que la célérité du son dans l'air vaut vson = 340 m/s à la température de 20°C. Quelles sont les longueurs d'onde l correspondant à ses fréquences ? l = vson fréquence = 340 20 = 17 m et : 340/20 000 = 17 mm. L'orage est tout près... Dans un livre onpeut lire : pendant un coup de foudre, l'éclair et le bruit du tonnerre se produisent en même temps. Mais comme la lumière va plus vite que le son, on voit l'éclair avant d'entendre le tonnerre. Pour savoir à quelle distance se trouve l'orage, compte les secondes entre l'éclair et le tonnerre, puis divise par trois. S'il y a six secondes, c'est que l'orage est à deux kilomètres de toi. On considère que la célérité de la lumière dans l'air est c = 3 108 m/s. Montrer que la durée Dt qui s'écoule entre l'éclair et le tonnerre en fonction de la distance d qui sépare l'observateur de l'orage, de la célérité du son dans l'air vson et de la célérité c de la lumière dans l'air s'écrit : Dt = d ( 1 vson - 1 c ) La lumière parcourt la distance d pendant la durée t = d/c Le son parcourt la même distance d pendant la durée t' = d/vson. Dt = t'-t = d/vson - d/c. Justifier le calcul proposé ci-dessus permettant de connaître la distance qui sépare l'observateur de l'orage en kilomètres ( la valeur 3 est arrondie pour simplifier le calcul destiné à un enfant). c étant très supérieur à vson, le terme 1/c est négligeable devant le terme 1/vson. d ~ Dt .vson avec vson ~ 1000 / 3 m/s ~ 1/3 km /s. d ~ Dt /3 avec d en km et Dt en seconde.

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