Oscillateur élastique horizontal ( bac S Liban 2009) d'après http://www.cpf.edu.lb/ et http://grespliban.freehostia.com/index.html

Un élève de terminale pas très organisé doit remettre dans quelques jours un devoir sur les oscillations mécaniques et il ne retrouve pas la totalité de ses documents. Voici les éléments qu'il a cependant en sa possession. Le schéma du montage de l'oscillateur élastique horizontal sur banc à coussin d'air. Les conditions initiales : abscisse initiale du centre d'inertie du mobile x0=4,0 cm ; vitesse initiale v0= 0 m/s. L'expression T0 = 2 pi [m/k]½ conservée dans sa calculette. Deux graphes correspondants à des acquisitions faîtes lors d'une séance de travaux pratiques. La courbe ci-dessous représente l'évolution de l'abscisse du centre d'inertie G du mobile au cours du temps. Déterminer graphiquement la valeur de la pseudo-période T. Cette valeur sera confondue par la suite confondue avec la période propre T0 d'un oscillateur idéal. T = 0,82 s. La courbe ci-dessous représente l'évolution d'une grandeur énergétique au cours du temps. Montrer sans calcul que cette grandeur ne peut être que l'énergie potentielle élastique Epe du système {mobile- ressort}. La valeur initiale n'est pas nulle ; or la vitesse initiale est nulle : cette courbe ne peut pas être l'évolution de l'énergie cinétique. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique : l'énergie mécanique décroît lentement et atteind la valeur zéro au bout d'un temps assez long. Or on observe que la courbe ci-dessus passe par zéro aux dates t = 0,2 s, t = 0,6 s... Cette courbe ne correspond pas à l'énergie mécanique du système. Cette courbe correspond donc à l'évolution de l'énergie potentielle élastique du système. En utilisant les courbes ci-dessus, montrer que la constante de raideur du ressort a pour valeur k = 3,0 N m-1. L'énergie potentielle élastique initiale vaut : Epe = 2,4 mJ = 2,4 10-3 J ( lecture graphe à t = 0) De plus, l'abscisse initiale du centre d'inertie du mobile x0=4,0 cm = 4,0 10-2 m. Or l'énergie potentielle élastique s'exprime par : Epe = ½kx02, d'où : k = 2Epe /x02 = 2*2,4 10-3 / (4,0 10-2)2 = 3,0 N m-1. Donner l'expression de la masse m du mobile en fonction de k et de T0. Calculer sa valeur. m = 0,822*3,0 / (4*3,142) = 5,1 10-2 kg. Les forces de frottements sont-elles négligeables ? Justifier. La première courbe montre que l'amplitude des oscillations diminue au cours du temps ; la seconde montre que les valeurs maximales de l'énergie potentielle élastique ( donc que l'énergie mécanique) diminuent au cours du temps : les frottements ne sont donc pas négligeables. Dessiner sur un même graphe, dans le cas théorique d'un oscillateur élastique sans frottement, les allures des courbes des énergies potentielle élastique, cinétique et mécanique du système en fonction du temps, en respectant les conditions initiales de l'oscillateur étudié.   Equation différentielle du mouvement. Etablir l'équation différentielle que vérifie l'abscisse x(t) dans le cas d'un oscillateur élastique horizontal sans frottement. Référentiel terrestre supposé galiléen. La position du centre d'inertie de la bille est repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x'Ox. L'origine des abscisses correspond à l'abscisse de G lorsque la bille est à l'équilibre. Dans cette étude, tous les frottements sont négligés.  poids et action du support se neutralisent. tension du ressort La seconde loi de Newton s'écrit, le référentiel terrestre étant supposé galiléen ; projection sur l'axe x'x : -k x = mx" ou x" + k/m x=0 ; pulsation w² = k/m.. Vérifier que x(t) = x0 cos ( 2 pi t/T0) est solution de cette équation différentielle. x(t) = x0 cos ( 2 pi t/T0) Dériver deux fois par rapport au temps : x'(t) = -x0 2 pi / T0 sin ( 2 pi t/T0) ; x"(t) = -x0 4 pi2 / T02 cos ( 2 pi t/T0) Repport dans l'équation différentielle : [-x0 4 pi2 / T02 cos ( 2 pi t/T0) ] + k / m x0 cos ( 2 pi t/T0) = 0 x0 cos ( 2 pi t/T0) [ k / m -4 pi2 / T02 ] = 0 Or 4 pi2 / T02 = k / m : cette égalité est bien vérifiée quel que soit le temps.

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