Etude d'une bobine par différentes méthodes : bac S  Antilles  septembre 2009

On se propose dans cet exercice de déterminer l'inductance d'une bobine par différentes méthodes. On dispose pour cela d'un dispositif d'acquisition et d'un logiciel adapté. Dans la première partie de l'exercice la résistance du circuit sera non nulle. Dans les deuxième et troisième parties, un dispositif adapté (non représenté sur les circuits) permettra d'annuler la résistance de l'ensemble. On considère le montage suivant composé : - d'un générateur de tension de force électromotrice E = 5,0 V ; - d'un condensateur de capacité C = 2200 µF ; - d'une bobine d'inductance L à déterminer, comprise entre 600 et 900 mH, de résistance r= 15 W; - d'un dispositif d'acquisition relié à un ordinateur. Détermination de l'inductance par une méthode temporelle. Le condensateur étant initialement chargé, à la date t = 0, on bascule l'interrupteur de la position (1) vers la position (2). Le système d'acquisition relié à l'ordinateur permet d'enregistrer la courbe d'évolution de la tension u aux bornes du condensateur en fonction du temps. La courbe obtenue est représentée sur le document 1 ci-dessous.                        . Quel est le phénomène observé ? Décharge du condensateur  à travers une bobine inductive de résistance non nulle : on observe quelques oscillations libres d'amplitude décroissante ( amortissement ). Déterminer graphiquement la pseudo-période T de la tension.  En assimilant la pseudo-période à la période propre T0, calculer la valeur L de l'inductance de la bobine.  T0 = 2 pi (LC)½ ; T02 = 4 pi2 LC ; L = T02 /( 4 pi2 C) avec C = 2,20 10-3 F L = 0,262 /(4*3,142*2,20 10-3 )=0,778 ~0,78 H. Détermination de l'inductance par une méthode énergétique. L'objectif de cette partie est de déterminer la valeur de l'inductance de la même bobine par une méthode énerqétlque. -On notera par la suite Ec l'énergie emmagasinée dans le condensateur, Es  l'énergie emmagasinée dans la bobine et ET l'énergie totale du circuit.  On ajoute au circuit précédent un dispositif qui permet d'annuler la résistance de la bobine sans modifier son inductance. On considérera pour la suite de l'exercice que le nouveau circuit ainsi obtenu est composé uniquement d'un condensateur et d'une bobine idéale (résistance nulle). On charge à nouveau le condensateur avant de basculer l'interrupteur en position (2) à la date t = 0 s. Le logiciel permet de tracer les courbes donnant l'évolution de la tension u aux bornes du condensateur, (document 2), de l'intensité (document 3) et des différentes formes d'énergie en fonction du temps (document 4).     Rappeler les expressions littérales des énergies Ec et Es en fonction de L, C, u et i. Ec = ½Cu2 ;  ES = ½Li2. En déduire l'expression de l'énergie ET du circuit, en fonction de L, C, u et i. ET =Ec +ES =½Cu2 + ½Li2. Identifier sur le document 4, les courbes donnant l'évolution de Es, Ec et de ET, Justifier votre réponse. Le condensateur initialement chargé stocke toute l'énergie du dipole  à t=0 : la courbe 3 correspond à Ec. La bobine ne stocke aucune énergie  à la date t=0 : la courbe 2 correspond  à ES. La courbe 1 est obtenue en faisant la somme des courbes 2 et 3 :  la courbe 1 correspond  à ET. Déterminer graphiquement la valeur de l'énergie ET du circuit. ET ~ 27 mJ = 2,7 10-2 J ( lecture graphe courbe 1). Dans quel dipôle est emmagasinée l'énergie à la date t = 0,20 s? Justifier votre réponse. La courbe 2 passe par un maximum ; la courbe 3 passe par une valeur nulle : la bobine  stocke toute l'énergie du circuit  à la date t=0,20 s.  En déduire la valeur de l'inductance de la bobine. L'exploitation d'un document peut s'avérer nécessaire pour répondre à cette question. ET = ½Li2 ; L = 2ET / i2 =2*2,7 10-2 / 0,262 =0,80 H.   Modélisation de la tension et de l'intensité On souhaite établir l'expression de la tension en fonction du temps et celle de l'intensité en fonction du temps. Comme pour la partie 2, on considèrera comme nulle la résistance totale du circuit. En tenant compte des conventions d'orientation figurant sur le schéma du circuit, donner l'expression de la tension u aux bornes de la bobine en fonction de l'intensité i du courant qui la traverse et de son inductance L. u = -Ldi/dt. Donner l'expression de l'intensité i du courant qui parcourt le circuit, lorsque l'interrupteur est en position (2), en fonction de la tension u et de la capacité C du condensateur. i =  dq/dt avec q, charge de l'armature positive du condensateur ; q = Cu dq/dt = C du/dt ; i = Cdu/dt. En déduire l'équation différentielle vérifiée par le circuit sous la forme ü + A2u = 0 dans laquelle A représente une constante à déterminer littéralement en fonction de Let C. di/dt = Cd2u/dt2 ; u = -Ldi/dt donne : u=-LC d2u/dt2 ; u +LC d2u/dt2=0 u + LCu" =0 ; u" + 1/(LC) u = 0 ; A2 = 1/(LC). La solution de l'équation différentielle est de la forme u(t)=umaxcos(2 pi t / T0 + j). Dans cette expression Umax représente l'amplitude (Umax> 0), T0 représente la période propre et  j la phase à l'origine. À partir de l'enregistrement de l'évolution de la tension (document 2) déterminer les valeurs des constantes Umax et j puis écrire u(t) sous forme numérique. De plus  à t =0 u est égale  à umax  d'où : umax=umaxcos( j) ; 1 = cos( j)  ; j=0. u(t) = 5,0 cos (2*3,14/0,26 t) ; u (t) = 5,0 cos (24 t). En déduire l'expression numérique de i(t). i = Cdu/dt =2,2 10-3*5,0*(-24) sin (24t) ; i(t) = -0,26 sin(24t). Comparaison des différents régimes de fonctionnement. Le dispositif destiné à annuler la résistance de la bobine peut être réglé de façon que la résistance totale du circuit soit plus ou moins importante. On réalise des acquisitions en déchargeant le condensateur dans la bobine et en testant successivement différents réglages du dispositif de compensation de la résistance de la bobine. On réalise 4 expériences et, pour chacune d'entre elles, on mesure la résistance totale du circuit de décharge, comportant le condensateur, la bobine et le dispositif de compensation de résistance. On enregistre à chaque fois la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps (courbes du document 5). Compléter le tableau : Résistance totale du circuit de décharge  (ohms) n° de la courbe correspondante nom du régime associé justification 0 5 périodique la bobine est idéale ( la résistance totale du circuit est nulle ) 2,0 6 pseudopériodique faible valeur de la résistance ( amortissement faible ) 80 4 apériodique grande valeur de la résistance (amortissement fort) Justifier l'aspect de la courbe 6 par des considérations énergétiques. La courbe est une sinusoïde  amortie : le régime est pseudo-périodique. Une partie de l'énergie du circuit est perdue par effet Joule dans la résistance lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine.

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