Mouvement d'une planète concours Mines 07

Nous voulons étudier le mouvement d'une planète, assimilée à un point matériel dans le champ de gravitation d'une étoile de masse M_e de centre O, considérée comme ponctuelle et fixe. La planète de masse M_p est située à une distance r=OP de O. Nous considérerons un référentiel lié à l'étoile comme un référentiel galiléen.

Exprimer la force exercée par l'étoile sur la planète en fonction des masses M_e et M_p, r, G, la constante universelle de gravitation

et le vecteur unitaire e_r = OP/r.

Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce plan.

Ecrire le théorème du moment cinétique en O :

La trajectoire est plane : ce plan contient le point O et le vecteur force F. Ce plan est perpendiculaire au moment cinétique L.

On notera (e_r et e_q). la base de projection dans ce plan et e_z, un vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique en O, L= Le_z.

Rappeler l’expression de la vitesse en coordonnées polaires.

Préciser l'expression de en fonction de L en fonction de M_p, r, dq/dt.

On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement circulaire de rayon R et de période T. On notera , le module de la vitesse v_c pour un mouvement circulaire.

Etablir l'expression de la vitesse v_c de la planète, en fonction de R,G et M_e.

En déduire une relation entre r, T, G et M_e ( 3^ème loi de Képler).

La période est la durée nécessaire pour décrire une circonférence de rayon r : T = 2pr/v_c.

T² = 4 p² r²/v_c² = 4 p² r³/ (GM_e) ; T² / r³ =4 p² / (GM_e).

Exprimer alors la vitesse vc en fonction de G,T et Me. 1/r3 =4 p2/(T2GMe ) ; vc6 =(GMe)3/r3 vc6 =4 p2 (GMe)2/T2 ; vc = [2pGMe /T]1/3. En déduire l’énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de G,T, Mp et Me. Ec=½Mpvc2 =½Mp [2pGMe /T]2/3. Ep= -GMeMp /r avec 1/r = [4 p2/(T2GMe )]1/3. Ep= -Mp [2pGMe /T]2/3. EM= Ec+Ep= -½Mp [2pGMe /T]2/3.

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On rappelle que l'équation polaire d’une ellipse est où p est une distance appelée paramètre et e, un coefficient positif sans dimension appelé l'excentricité compris entre 0 et 1. On se propose d’étudier le mouvement de la planète à l’aide du vecteur excentricité,

où v est la vitesse de la planète, est e_q un vecteur orthogonal au ½ grand axe de l’ellipse.

Montrer que ce vecteur est constant. Il suffira de montrer que la dérivée de ce vecteur est nulle.

En faisant le produit scalaire e. e_q et en s’aidant du dessin, montrer que r(q)=p/[1+ecos(q)] et en déduire que le module de e vaut l'excentricité e de la trajectoire. Préciser p en fonction de G, M_e, M_p et L.

p = L²/(GM_eM_p²)

Préciser la valeur de l’excentricité pour un mouvement circulaire.

L'excentricité est nulle dans le cas d'un mouvement circulaire.

Dans le cas d’un mouvement circulaire, préciser la valeur de L en fonction de r, v_c et M_p.

L = M_p v_cr

Retrouver à l’aide du vecteur excentricité, l'expression de la vitesse de la planète, en fonction de r, G et M_e.