mécanique : étude de la suspension d'un véhicule, méthode des nombres complexes concours mines 06

Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M, reposant sur une roue par l’intermédiaire de la suspension dont l’axe OG reste toujours vertical. L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v = v u_x.

La suspension, quant à elle, est modélisée par un ressort de raideur constante k = 1,0.10⁵ N.m^-l (de longueur à vide L₀) et un amortisseur fluide de constante d'amortissement constante l= 4,0.10³ U.S.I. La masse de l’ensemble est M = 1000 kg .

La position verticale du véhicule est repérée par z_G dans le référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note z_O la cote du centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route.

L’amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par l’amortisseur sur M, qui s’écrit :

F= - l (dz_G/dt- dz_O/dt) u_z.

La route est parfaitement horizontale.

La route ne présente aucune ondulation et le véhicule n’a aucun mouvement vertical.

Déterminer la position z_Geq de G lorsque le véhicule est au repos.

Le véhicule est soumis à son poids ( verticale, vers le bas, valeur Mg), à la force de rappel exercée par la suspension ( verticale, vers le haut, valeur k(L₀-L)).

A l'équilibre les deux forces se compensent :

Mg = k(L₀-L) avec L = z_Géq-z_O.

Mg = k(L₀-z_Géq+z_O)

z_Géq = L₀+z_O- Mg/k.

On étudie le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment. On posera z = z_G – z_Geq.

Etablir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur.

E_pp = Mgz_G + Cte.

On choisit l'origine de l'énergie potentielle à l'altitude z= z_Geq. La constante vaut alors : Cte = - Mgz_Geq.

E_pp = Mg( z_G – z_Geq) ; E_pp = Mgz.

Etablir l’expression de l’énergie potentielle élastique.

E_pe = ½k(L-L₀)²+ Cte avec L = z_G-z_O.

E_pe = ½k( z_G -z₀ -L₀ )²+ Cte ; E_pe = ½k(z_G -z_Geq + z_Geq -z_O - L₀)²+ Cte

E_pe = ½k( z -L₀-z_O + z_Geq-z )²+ Cte ; E_pe = ½k( z - Mg/k)²+ Cte.

La dérivée par rapport au temps de l'énergie mécanique est égale à la puissance de la force de frottement fluide ( force non conservative).

E_M= ½Mv² + E_pp+E_pe.

dE_M/dt =M v dv/dt + Mg dz/dt + k(z-Mg/k ) dz_G/dt

dE_M/dt =M v dv/dt +kz dz_G/dt

De plus : z = z_G – z_Geq ; dz/dt = dz_G/dt et v = dz/dt ; dv/dt = d²z_G/dt²

dE_M/dt=(Md²z/dt² + kz ) dz/dt.

Force de frottement fluide sur une route horizontale : F= - l dz_G/dtu_z

puissance de la force de frottement fluide : F. dz_G/dt u_z= - l dz_G/dt u_z.dz_G/dt u_z

F. dz_G/dt u_z= - l d²z_G/dt²

Par suite : Md²z/dt² + kz = - ldz/dt

d²z/dt² + l/M dz/dt + k/M z = 0.

Dessiner, qualitativement, les allures envisageables de la fonction z(t).

(la résolution de l’équation différentielle n’est pas demandée).

La route est ondulée : (fig 2)

Le véhicule se déplace à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé. L’ondulation est assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d’amplitude A. z_O peut alors s’écrire z_O = R + Acos(wt).

On étudie maintenant le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment. On posera z = z_G – z_Geq.

Pour les applications numériques on prendra L = 1 m ; A = 10 cm

Quelle est l’unité de l ?

l/M dz/dt a la dimension d'une accélération. [l/M dz/dt] = L T^-2.

[dz/dt] = L T^-1 ; [M] = M ; [l] M^-1 L T^-1= L T^-2.

[l] = M T^-1. ( unité : kg s^-1)

Exprimer w en fonction de v et L. Vérifier l’homogénéité du résultat.

w = 2 p / T avec T = L/v d'où : w = 2 p v/L, exprimé en rad s^-1.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen,

établir l'équation différentielle en z régissant le mouvement.

Md²z/dt² = -Mg- k (L-L₀) -l (dz_G/dt- dz_O/dt)

avec dz_O/dt= -Awsin(wt) et L = z_G-z_O.

Md²z/dt² = -[Mg+ k ( z_G-z_O-L₀)] -l (dz_G/dt+ Awsin(wt))

Or Mg = k(L₀-z_Géq+R) d'où : Mg+ k ( z_G-z_O-L₀) =k(z_G-z_Géq+R-z_O-)= kz -kAcos(wt).

Md²z/dt² = -kz +kAcos(wt) -ldz_G/dt -l Awsin(wt)

d²z/dt² +l/M dz/dt + k/M z = kA/M cos(wt) -l Aw/ Msin(wt).(1)

Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la solution z(t) de cette équation différentielle sous une forme sinusoïdale z(t) = zmax.cos(wt+j). La solution générale de (1) s'obtient en additionnant : - la solution générale de l'équation homogène ( régime transitoire) d2z/dt2 +l/M dz/dt + k/M z =0 - une solution particulière de (1) correspondant au régime forcé. Le régime transitoire étant de courte durée, la solution particulière ( régime forcé) s'impose rapidement.

Résolution par la méthode des complexes.

On pose z = Z.exp(jwt ), réponse complexe du véhicule à l’excitation sinusoïdale et z_O - R= Aexp(jwt ).

Montrer que

d²z/dt² +l/M dz/dt + k/M z va s'écrire :

Dériver par rapport au temps correspond à la multiplication par jw:

d²z/dt² = -w²Z.exp(jwt )

dz/dt = jwZ.exp(jwt ) ; l/M dz/dt =l/MjwZ.exp(jwt )

[-w² +j lw/M +k/M] Z.exp(jwt ).

à Acos(wt) on associe Aexp(jwt ) ;

à sa dérivée -Aw sin(wt) on associe jw Aexp(jwt ) ;

d'où l'écriture [ k/M+l / Mjw] Aexp(jwt ).

Mettre sous la forme :

H₂= -w² +j lw/M +k/M

On pose w₀² = k/M d'où : w₀² [ -w² / w₀² + j lw/ (Mw₀²) +1]

On pose alors Q= (kM)^½/ l.

-w² +j lw/M +k/M s'écrit : w₀² [ -w² / w₀² + j w/ (Qw₀) +1]

On pose alors w₁ = k/ l.

 k/M+l / Mjw = w₀² [1+ jw / w₁ ]

w₁ = k/ l = 1,0 10⁵ / 4,0 10³ = 25 rad s^-1

Q= (kM)^½/ l = 10⁴ / 4,0 10³ = 2,5.

Donner l'expression du module |Z / A| en fonction de w₀, w₁ et Q.

Module de H₁ : [1+(w / w₁)²]^½

Module de H₂ : [(1-(w² / w₀²)²+(w/ (Qw₀))²] ^½

d'où :

On souhaite maintenant étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture.

Pour cela on étudie donc |Z / A| en fonction de w.

Tracer le diagramme de Bode asymptotique relatif à |Z / A|. Tracer l’allure de |Z / A|.

Remarque : on pourra tracer au préalable les diagrammes relatifs à |H₁| puis à |H₂|.

G₁ = 20 log [1+(w / w₁)²]^½ = 10 log [1+(w / w₁)²]

si w tend vers 0, alors G₁ tend vers 0.

si w tend vers l'infini, alors G₁ tend vers l'infini. G₁ est équivalent à 20 log (w / w₁).

La pente de l'asymptote est 20 dB par décade.

G₂ = 20 log [(1-(w² / w₀²)²+(w/ (Qw₀))²] ^½ = 10 log[(1-(w² / w₀²)²+(w/ (Qw₀))²]

si w tend vers 0, alors G₂ tend vers 0.

si w tend vers l'infini, alors G₂ tend vers l'infini. G₂ est équivalent à 40 log (w / w₀).

La pente de l'asymptote est 40 dB par décade.

Quelle est la valeur de v correspondante ?

w = 2 p v/L

v = w₀ L/(2p) = 10 *1/6,28 =1,59 m/s ou 1,593*3,6 = 5,7 km/h.

Calculer l'amplitude des oscillations du véhicule pour w =w₀.

Module de H₁ : [1+(w₀ / w₁)²]^½ =[1+(10/25)²]^½ =1,077

Module de H₂ : [(1-(w₀² / w₀²)²+(w₀/ (Qw₀))²] ^½=[1/Q²]^½ =1/2,5 =0,4.

module de H₁ / H₂ : 1,077/0,4 = 2,69.

amplitude maximale : A*2,69 = 10*2,69 = 26,9 cm.

Dans le film « le salaire de la peur », Yves Montand conduit un camion (w₀ =25 rad s^-1) chargé de nitroglycérine. Il passe sur une tôle ondulée de période spatiale 1 m et pour laquelle A=10 cm. Afin d’éviter l’explosion du chargement il doit traverser la taule à une vitesse inférieure à 5 km/h ou supérieure à 50 km/h.

Justifier qualitativement ceci à l’aide des résultats précédents.

D'après le graphe ci-dessus, au voisinage de w₀ , pour une même valeur du gain, on trouve deux valeurs de w.

C'est à dire deux valeurs de la vitesse pour lesquelles l'amplitude des oscillations risque de conduire à une explosion.