entropie : irréversibilité ; pertes thermique à travers une vitre concours Mines 04

Propriétés thermodynamiques du verre :

Capacité thermique du verre :

On donne la capacité thermique (ou calorifique) massique de l’eau : c_eau =4,18 J K^-1 Kg^-1.

On désire mesurer la capacité thermique massique du verre par une expérience de calorimétrie à pression constante.

Quelle est la fonction d'état à utiliser dans ce cas ?

Enthalpie.

On place petites billes de verre identiques dans un four maintenant une température t₁=80°C. Chaque petite bille a un diamètre d=1 cm. La densité du verre est d=2,5 . On plonge ces petites billes dans un calorimètre de masse équivalente en eau m_eq= 20 g dans lequel on a placé initialement une masse M=100 g d'eau à t₂ = 20 °C. On néglige toute fuite thermique. La température du mélange à l'équilibre est t_éq=25°C .

En déduire l'expression littérale et la valeur numérique de la capacité thermique massique du verre, que l'on notera c_verre.

On rappelle que la masse volumique de l'eau est r_eau = 1000 kg m^-3.

DH = 0, système calorifugé.

Masse des billes de verre : m_verre = n 4/3 p(d/2)³ d= 40*4/3*3,14 (5 10^-3)³*2500 =5,23 10^-2 kg

Energie cédée par le verre au calorimètre et à l'eau qu'il contient : m_verrec_verre(t_éq-t₁).

Energie gagnée par l'eau et le calorimètre : (M+m_éq)c_eau(t_éq-t₂).

m_verrec_verre(t_éq-t₁)+ (M+m_éq)c_eau(t_éq-t₂) =0

c_verre = (M+m_éq)c_eau(t₂-t_éq) / (m_verre(t_éq-t₁)).

c_verre = 0,120*4180 (25-20) / ( 5,23 10^-2*55) = 872 J K^-1 Kg^-1.

On veut montrer à partir du second principe que la transformation réalisée ci-dessus est irréversible.

Relier, en justifiant, la variation élémentaire d’entropie dS à la variation de température dT d’une phase condensée idéale de capacité thermique C.

dS= CdT / T= C d (lnT).

Donner l’expression littérale et la valeur numérique de la variation d’entropie du système {billes, calorimètre, eau} pour la transformation précédente.

Conclure quant à la réversibilité de la transformation.

DSsystème = DSverre + DSeau + DScalorimètre. DSverre = mverre Cverre ln [(273+téq) /(273+t1)] DSverre = 5,23 10-2 *872 ln [(273+25) /(273+80)] =-7,73 J K-1. DSeau + DScalorimètre = (M+méq )Ceau ln [(273+téq) /(273+t2)] DSeau + DScalorimètre = 0,12 *4180 ln(298 / 293)=8,50 J K-1. DSsystème =(8,50-7,73) =0,77 J K-1. valeur positive, la transformation est irréversible.

Fuite thermique par une vitre

Soit une pièce d’habitation de capacité thermique totale C, de température (à l’instant t) T(t) supposée uniforme en tout point de la pièce. Les fuites thermiques se font uniquement par l’intermédiaire d’une fenêtre simple vitrée de surface S. La température de l’extérieur est constante de valeur T₀=273 K. On suppose que la puissance des fuites thermiques est proportionnelle à la surface de la vitre S et à l’écart de température entre la pièce et l’extérieur (loi de Newton). On appellera k le coefficient de proportionnalité. En valeur absolue, la loi de Newton s’exprime donc par la relation :

|P_th| =kS|T-T₀| avec k >0.

La pièce est chauffée par un radiateur électrique de résistance R alimenté par le secteur EDF (qui délivre une tension efficace U égale à 220V).

Initialement la pièce est à une température T(0)= 283 K. On met en route le chauffage. Quelle est l’expression littérale de la puissance thermique PJ reçue du radiateur par la pièce ? PJ = UI avec U=RI d'où : PJ = U2/R. Quelle est l’expression littérale de la puissance thermique Pth pièce algébriquement reçue par la pièce ? Pth pièce = -k S(T-T0). ( pertes à travers la vitre )

Pour l’application numérique, on prendra S= 1 m² ; k=5,6 S.I.

P_{th pièce} + P_J =0

U²/R -k S(T₁-T₀) =0 ; R = U²/[k S(T₁-T₀)].

R = 220² / (5,6*(293-273)) = 432 W.

Ecrire le bilan énergétique de la pièce entre deux instants infiniment voisins t et t+dt et en déduire l’équation différentielle vérifiée par T(t).

Energie de la pièce à l'instant t : CT(t)

Energie de la pièce à l'instant t +dt : CT(t+dt)

Energie reçue du radiateur : P_J dt =U²/R dt.

Energie perdue à travers la vitre : -P_th dt = -kS(T-T₀)dt

Bilan : CT(t+dt) = CT(t) +U²/R dt-kS(T-T₀)dt.

C[T(t+dt)-T(t)] = CdT ;

CdT/dt + kS(T-T₀)=U²/R ; dT/dt + kS/C T = U²/(RC) +kS/C T₀. (1)

 Dans l'équation differentielle de T(t), identifier une constante de temps t. Quelle est sa valeur numerique si C =100 kJ/K ? Quelle est sa signification physique ?

t= C/kS ; t=10⁵/(5,6*1) =1,79 10⁴ s proche de 5 heures.

Le régime permanent est atteint au bout d'un durée égale à 5t soit 25 heures.

Résoudre l’équation différentielle avec la condition initiale proposée.

Solution générale de l'équation différentielle sans second membre :

T' +T/t =0 ; T =Cte exp(-t/t).

Solution particulière de (1) en régime permanent : T/t = U²/(RC) + T₀/t.

T = T₀+ U²t/(RC)

Solution générale de (1) : T =Cte exp(-t/t) + T₀+ U²t/(RC).

à t=0, T= T(0) : T(0)= Cte + T₀+ U²t/(RC) ; Cte =T(0)-T₀ - U²t/(RC)

d'où : T = [T(0)-T₀ -U²t/(RC) ] exp(-t/t)+T₀+ U²t/(RC).

Connaissez-vous un moyen de réduire les pertes thermiques ? Lequel ?

Utiliser un double vitrage.