champ et potentiel électrique crée en son centre par un arc de cercle ; crée en un point M par un cylindre uniformément chargé en surface.

Champ crée en O par un élément de longueur dl portant la charge dq=ldl.

Le champ résultant est porté par la bissectrice de l'angle.

Intégrer entre 0 et a :

Potentiel crée en O par la charge ponctuelle dq=ldl :

Intégrer entre 0 et 2a :

Champ électrique crée par un cylindre infini portant la charge surfacique s.

Le champ électrique, en un point M d'un plan de symétrie du système de charges, appartient à ce même plan de symétrie.

Tout plan contenant l'axe du cylindre est plan de symétrie et tout plan perpendiculaire à l'axe du cylindre est également plan de symétrie (cylindre infini) donc le champ est radial.

Le flux du champ électrique à travers les deux sections est nul ( champ perpendiculaire à la surface).

Flux du champ électrique à travers la surface latérale : S_lat = 2pr H

Charge totale contenue dans cette surface : Q = s 2pR H.

Appliquer le théorème de Gauss :

r > R : E 2pr H = s 2pR H / e₀.

E = s R / (re₀).

r<R : E 2pr H =0 ; E=0.

On considère que le potentiel V est égal à V₀ sur l'axe du cylindre.

r <R : E=0 ; V=V₀.

r>R, E = s R / (re₀) ; V= -s R /e₀ ln r + Cte

Comment trouver la constante d'intégration ?

Lors de la traversée de la surface du cylindre de rayon R, V est continu.

V(r=R) = V₀ = -s R /e₀ ln R + Cte

d'où Cte = V₀ +s R /e₀ ln R

V= V₀ -s R /e₀ ln(r/R).