Satellites et lois de Kepler concours technicien météo 2007.

Partie 1. Satellite de la terre ; 3ème loi de Kepler. Soit S un satellite de masse m en orbite autour de la terre de masse M. Ce satellite est animé d'un mouvement circulaire uniforme à la vitesse v sur une orbite de rayon r. Dans quel référentiel étudie t-on le mouvement d'un satellite de la terre ? Référentiel géocentrique. L'origine du repère est le centre de la terre. Ce référentiel est supposé galiléen : dans un tel référentiel les lois de Newton s'appliquent. Donner les caractéristiques de la force de gravitation appliquée au satellite et la représenter sur un schéma. Cette force est constamment dirigée vers le centre de la terre.   Donner les caractéristiques du vecteur accélération. vecteur centripète, dirigé vers le centre de la terre, de valeur : a = GM r2 En déduire l'expression de la vitesse v du satellite. La valeur de l'accélération s'exprime par : a = v2/r. v : vitesse en m/s et r (m) rayon de l'orbite circulaire. v =[ GM r ]½. Montrer que : T2 r3 = k avec k une constante à exprimer en fonction de G, M et r. Ce résultat constitue la 3ème loi de Kepler.  Période : durée (s) nécessaire pour décrire une circonférence ( 2pr en mètre) à la vitesse v ( m/s) définie ci-dessus. 2pr = v T (1) Elever au carré l'expression (1) : T2 v2 = 4p2 r 2. Remplacer v2 par son expression GM/ r : T2 GM r =4p2 r 2 d'où : T2 r3 = 4p2 GM 2è partie. Satellite météorologique. Les satellites météorologiques ( METEOSAT ou GOES) se déplacent à une altitude d'environ 36000 km et chacun d'entre eux a la capacité de fournir de manière quasi-continue des images et des services de télécommunications au dessus d'une large région de la planète. Chaque satellite peut produire des images plein-disque couvrant pratiquement un quart de la surface terrestre jour et nuit. Les satellites en orbite polaire ( POES) se déplacent sur une orbite beaucoup plus basse, aux alentours de 850 km, avec un plan orbital incliné à environ 80 ° par rapport au plan de l'équateur. Chaque satellite en orbite polaire peut observer la planète entière en 24 heures, avec une résolution meilleure que celle des satellites géostationnaires. La terre et son atmosphère sont surveillées en continu, les images obtenues sont essentielles pour l'étude du climat et de l'environnement. Définir un satellite géostationnaire. Un satellite géostationnaire est un satellite qui a une position fixe par rapport au référentiel terrestre ( il reste en permanence à la verticale d’un même point du sol) Pour être géostationnaire le satellite doit avoir: * une trajectoire circulaire de centre O, centre de la Terre * pour période de révolution celle de de la Terre *et de plus il doit tourner dans le même sens que la Terre avec le même axe de rotation donc le plan de sa trajectoire est perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre et il contient le point O : le plan de la trajectoire est obligatoirement équatorial. Retrouver par un calcul approché, l'ordre de grandeur de son altitude. On donne : 1 j = 9 104 s ; pi2 = 10 ; masse de la terre M= 6 1024 kg ; rayon de la terre R= 6 103 km ; G= 7 10-11 S.I. T2 r3 = 4p2 GM = 4*10 7 10-11 *6 1024 ~9,5 10--14 r3 = (9 104)2 9,5 10-14 =8,5 1022   r = 4,4 107 m = 4,4 104 km Puis retrancher le rayon terrestre pour obtenir l'altitude : 4,4 104-6 103 = 3,8 104 km. Pourquoi ne peut-on se contenter d'un ensemble de satellites géostationnaires ? Ils paraissent immobiles dans le plan de l'équateur et n'observent donc qu'une partie de la planète. La météorologie a besoin de surveiller l'ensemble de la planète et de l'atmosphère. Représenter qualitativement la trajectoire d'un satellite POES. Comparer les vitesses des satellites GOES et POES. Justifier. v =[ GM r ]½. La vitesse est d'autant plus grande que le rayon de l'orbite est plus petit. Le satellite le "plus bas" a donc la plus grande vitesse. POES ( altitude 850 km) a une vitesse plus grande que celle de GOES ( altitude 36000 km). Qu'est ce que la résolution d'une image ? Une photo est constituée d'un grand nombre de pixels (1 pixel = 0,1 mm) juxtaposés. La résolution d'une image s'exprime souvent en pixels par pouce. Plus le nombre de pixels par pouce est important, meilleure est la qualité de l'image. Pourquoi, en orbite polaire, un satellite a t-il une meilleure résolution qu'en orbite équatoriale ? Le satellite en orbite polaire est proche de la terre ; il permet d'observer davantage de détails de l'atmosphère et de la surface de la terre.

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