Mouvement d'une bille dans une goutière : énergie mécanique, base de Frenet concours kiné Assas 2008

Il est demandé l'expression des valeurs littérales avant tout calcul numérique. Les notations du texte doivent être respectées. Une bille de masse m, assimilée à son centre d'inertie G, glisse sans frottement dans une gouttière inclinée puis aborde un demi-cercle de rayon r. La bille est lâchée sans vitesse d'un point A. g = 10 m/s2 ; r =OM=50 cm. Exprimer la vitesse vB de G en B. En A l'énergie mécanique de la bille est sous forme potentielle de pesanteur ; l'origine de cette énergie est prise en B, altitude zéro. EM(A) = mgh. En B, l'énergie mécanique de la bille est sous forme cinétique : EM(B) = ½mv2B. En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve : ½mv2B = mgh ; vB =[2gh]½. Représenter sur un schéma les forces appliquées à G au point M ainsi que les vecteurs de la base de Frenet.   Exprimer la vitese de G en M en fonction de vB et de q, puis en fonction de h et q. En B, l'énergie mécanique de la bille est sous forme cinétique : EM(B) = ½mv2B. En M, l'énergie mécanique de la bille est sous forme cinétique et potentielle de pesanteur : EM(M) = ½mv2M+mghM. hM = OM-OMcosq = r(1-cosq) En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve : ½mv2B = ½mv2M+mgr(1-cosq). v2M =v2B-2gr(1-cosq). Or v2B =2gh d'où : v2M =2gh-2gr(1-cosq). Exprimer la norme de R, action du support en M en fonction de h et q. Ecrire la seconde loi de newton en M suivant l'axe n de la base de Frenet. R-mg cosq = m v2M/r ; R = mg cosq + m v2M/r R = mg cosq + m(2gh/r-2g(1-cosq)) R = mg[ 2h/r -2+3cosq].   On lâche la bille d'une hauteur h=2r. Exprimer la norme de R, en M, en fonction de q. R = mg[ 2h/r -2+3cosq] ; R = mg[2+3cosq]. Pour quelle valeur q0 la bille quitte t-elle le support ? Celle-ci atteint-elle le point C ? Si R devient nulle, la bille quitte le support : 2+3 cosq0 = 0 ; cosq0 =-2/3 ; q0 = 132 °. En C, l'angle q vaut 180 ° : la bille ne peut atteindre le point C. On note M0 la position de G pour q=q0. Donner l'expression de la vitesse v0 de G en M0 en fonction de r. Calculer v0. v20 =2gh-2gr(1-cosq0) avec h=2r et cosq0 =-2/3. v20 =g( 4r-2r -4r/3) ; v20 =2gr/3 ; v0 =[2gr/3 ]½ = [2*10*0,5/3]½ = 1,8 m/s. Décrire qualitativement le mouvement ultérieur de la bille. Chute libre avec vitesse initiale v0.

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